2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Верна ли теорема про дифференцируемую функцию?
Сообщение22.10.2015, 17:05 


21/10/15
196
Здравствуйте!
Сочинил теорему. Интересно, верна ли она? Где я ошибаюсь?

Теорема.
Если функция действительной переменной $ f(x) $ дифференцируема в каждой точке интервала $ (a, b) $,
то она непрерывно дифференцируема (то есть $ f'(x) $ непрерывна) на нём.

Доказательство.
Возьмём произвольную точку $ c : a < c < b $.
Затем возьмём другую произвольную точку из $ (a, b) $, отличную от $ c $: $ c+\Delta c, \Delta c \ne 0,  a < c+\Delta c < b $.

$ f(x) $ дифференцируема в точке $ c $, тогда по свойству дифференцируемых функций
$ \exists $ непрерывная функция $ \alpha(t): \alpha(0) = 0, \lim _{t \rightarrow 0} \alpha(t) = 0  $
и $ f(c + \Delta c) = f(c) + f'(c) \Delta c + \alpha(\Delta c) \Delta c $.

Но $ f(x) $ диффференцируема и в точке $ c + \Delta c $.
Аналогично $ \exists $ непрерывная $ \beta(t): \beta(0)=0, \lim _{t \rightarrow 0} \beta(t) = 0 $ и
$ f(c) = f(c + \Delta c) + f'(c+ \Delta c)(-\Delta c) + \beta(-\Delta c)(-\Delta c) $.

Подставляем последнее выражение в предыдущее:
$ f(c+\Delta c)=f(c+\Delta c)+f'(c+\Delta c)(-\Delta c)+\beta(-\Delta c)(-\Delta c)+f'(c)\Delta c+\alpha(\Delta c)\Delta c $.

Далее получаем:
$ 0=-f'(c+ \Delta c) \Delta c -  \beta(-\Delta c) \Delta c  + f'(c) \Delta c + \alpha(\Delta c) \Delta c $.

Но $ \Delta c \ne 0 $, тогда

$ 0=-f'(c+ \Delta c) - \beta(-\Delta c)  + f'(c) + \alpha(\Delta c) $,
$ f'(c+ \Delta c) =  f'(c) + \alpha(\Delta c) - \beta(-\Delta c) $.

Тогда $ \lim _{\Delta c \rightarrow 0}f'(c+ \Delta c) = f'(c) + \lim _{\Delta c  \rightarrow 0}(\alpha(\Delta c) - \beta(-\Delta c)) =  f'(c) + 0 = f'(c) $.

Итак, $ \forall c \in (a, b) \lim _{\Delta c \rightarrow 0}f'(c+ \Delta c) = f'(c) $, т.е. $ f'(c) $ непрерывна в $ c $.
Точка $ c $ взята произвольно, следовательно $ f'(x) $ непрерывна на $ (a, b) $.

 Профиль  
                  
 
 Re: Верна ли теорема про дифференцируемую функцию?
Сообщение22.10.2015, 17:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
Не вчитывалась, но, насколько я помню, известная теорема гласит: "Если функция дифференцируема в каждой точке интервала, то она*её производная не может иметь на нем скачков (разрывов первого рода)"
Разрывы второго рода допускаются, пример прямо сейчас не приведу.

*исправлено

 Профиль  
                  
 
 Re: Верна ли теорема про дифференцируемую функцию?
Сообщение22.10.2015, 17:27 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3822
$f(x)=x^2\sin(1/x)$

 Профиль  
                  
 
 Re: Верна ли теорема про дифференцируемую функцию?
Сообщение22.10.2015, 17:38 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
8062
provincialka в сообщении #1065461 писал(а):
(разрывов первого рода)

И устранимых разрывов.

 Профиль  
                  
 
 Re: Верна ли теорема про дифференцируемую функцию?
Сообщение22.10.2015, 18:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
При рассмотрении дифференцируемости сразу во многих точках очень полезно указывать явно, что бесконечно малая в определении дифференцируемости зависит не только от приращения, но и от той точки, в которой пишется дифференцируемость, тогда "доказательства" подобного рода сразу рассыпаются. :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Верна ли теорема про дифференцируемую функцию?
Сообщение22.10.2015, 18:13 


21/10/15
196
RIP в сообщении #1065466 писал(а):
$f(x)=x^2\sin(1/x)$

Печаль. Дополнив этот пример нолём в точке 0, получил дифференцируемую везде функцию, но у производной нет предела в 0. То есть нет непрерывности.

А вот где ошибка в логике - непонятно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Верна ли теорема про дифференцируемую функцию?
Сообщение22.10.2015, 18:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
se-sss в сообщении #1065482 писал(а):
А вот где ошибка в логике - непонятно.

Так я же выше написАл, где ошибка.

 Профиль  
                  
 
 Re: Верна ли теорема про дифференцируемую функцию?
Сообщение22.10.2015, 18:26 


21/10/15
196
Brukvalub
Не виже применимости к моей логике.

(Оффтоп)

И вообще, как нам говорили на анализе, нет никаких бесконечно малых. Есть пределы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Верна ли теорема про дифференцируемую функцию?
Сообщение22.10.2015, 18:36 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
se-sss в сообщении #1065490 писал(а):
Не виже применимости к моей логике.
У вас $\alpha$ и $\beta$ зависят не только от $\Delta c$, но и от $c$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Верна ли теорема про дифференцируемую функцию?
Сообщение22.10.2015, 18:42 
Заслуженный участник


20/07/09
4026
МФТИ ФУПМ
se-sss в сообщении #1065490 писал(а):
бесконечно малых
Бесконечно малая — это ваша функция $\alpha$.
provincialka в сообщении #1065461 писал(а):
Если функция дифференцируема в каждой точке интервала, то она*её производная не может иметь на нем скачков (разрывов первого рода)
Множество точек непрерывности производной непусто и является плотным $G_\delta$ подмножеством. Любое $F_\sigma$ множество первой категории ()и только оно) может быть множеством точек разрыва производной некоторой функции.

 Профиль  
                  
 
 Re: Верна ли теорема про дифференцируемую функцию?
Сообщение22.10.2015, 19:05 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
provincialka, видимо, хотела упомянуть теорему Дарбу о производной

-- Чт окт 22, 2015 19:09:04 --

se-sss в сообщении #1065490 писал(а):
И вообще, как нам говорили на анализе, нет никаких бесконечно малых. Есть пределы.

"Оставьте этих глупостей!". Вот мама тоже всегда говорила Ньют, что чудовищ не бывает, а потом чудовища пришли и убили всех взрослых и братика Ньют... :cry:

 Профиль  
                  
 
 Re: Верна ли теорема про дифференцируемую функцию?
Сообщение22.10.2015, 19:13 


21/10/15
196
provincialka в сообщении #1065504 писал(а):
se-sss в сообщении #1065490 писал(а):
Не виже применимости к моей логике.
У вас $\alpha$ и $\beta$ зависят не только от $\Delta c$, но и от $c$.



Правильно. Я и "доказал" для каждой отдельно взятой точки с.

 Профиль  
                  
 
 Re: Верна ли теорема про дифференцируемую функцию?
Сообщение22.10.2015, 19:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
se-sss в сообщении #1065516 писал(а):
Правильно. Я и "доказал" для каждой отдельно взятой точки с.

Используя в рассуждении бесконечно малые сразу для многих точек.

 Профиль  
                  
 
 Re: Верна ли теорема про дифференцируемую функцию?
Сообщение22.10.2015, 20:24 
Заслуженный участник


31/12/05
1414
se-sss в сообщении #1065459 писал(а):
Но $ f(x) $ диффференцируема и в точке $ c + \Delta c $.
Аналогично $ \exists $ непрерывная $ \beta(t): \beta(0)=0, \lim _{t \rightarrow 0} \beta(t) = 0 $ и
$ f(c) = f(c + \Delta c) + f'(c+ \Delta c)(-\Delta c) + \beta(-\Delta c)(-\Delta c) $
Для каждого $\Delta c$ эта $\beta$ может быть разной. Корректнее обозначить ее $\beta_{c+\Delta c}$.
se-sss в сообщении #1065459 писал(а):
Тогда $ \lim _{\Delta c \rightarrow 0}f'(c+ \Delta c)$

$= f'(c) + \lim _{\Delta c  \rightarrow 0}(\alpha(\Delta c) - \beta_{c+\Delta c}(-\Delta c))$.

И что будем делать дальше?

 Профиль  
                  
 
 Re: Верна ли теорема про дифференцируемую функцию?
Сообщение22.10.2015, 21:25 


21/10/15
196
Погулял, подумал, понял.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 15 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group