Верна ли теорема про дифференцируемую функцию?

[se-sss]

Здравствуйте!
Сочинил теорему. Интересно, верна ли она? Где я ошибаюсь?

Теорема.
Если функция действительной переменной $ f(x) $ дифференцируема в каждой точке интервала $ (a, b) $,
то она непрерывно дифференцируема (то есть $ f'(x) $ непрерывна) на нём.

Доказательство.
Возьмём произвольную точку $ c : a < c < b $.
Затем возьмём другую произвольную точку из $ (a, b) $, отличную от $ c $: $ c+\Delta c, \Delta c \ne 0, a < c+\Delta c < b $.

$ f(x) $ дифференцируема в точке $ c $, тогда по свойству дифференцируемых функций
$ \exists $ непрерывная функция $ \alpha(t): \alpha(0) = 0, \lim _{t \rightarrow 0} \alpha(t) = 0 $
и $ f(c + \Delta c) = f(c) + f'(c) \Delta c + \alpha(\Delta c) \Delta c $.

Но $ f(x) $ диффференцируема и в точке $ c + \Delta c $.
Аналогично $ \exists $ непрерывная $ \beta(t): \beta(0)=0, \lim _{t \rightarrow 0} \beta(t) = 0 $ и
$ f(c) = f(c + \Delta c) + f'(c+ \Delta c)(-\Delta c) + \beta(-\Delta c)(-\Delta c) $.

Подставляем последнее выражение в предыдущее:
$ f(c+\Delta c)=f(c+\Delta c)+f'(c+\Delta c)(-\Delta c)+\beta(-\Delta c)(-\Delta c)+f'(c)\Delta c+\alpha(\Delta c)\Delta c $.

Далее получаем:
$ 0=-f'(c+ \Delta c) \Delta c - \beta(-\Delta c) \Delta c + f'(c) \Delta c + \alpha(\Delta c) \Delta c $.

Но $ \Delta c \ne 0 $, тогда

$ 0=-f'(c+ \Delta c) - \beta(-\Delta c) + f'(c) + \alpha(\Delta c) $,
$ f'(c+ \Delta c) = f'(c) + \alpha(\Delta c) - \beta(-\Delta c) $.

Тогда $ \lim _{\Delta c \rightarrow 0}f'(c+ \Delta c) = f'(c) + \lim _{\Delta c \rightarrow 0}(\alpha(\Delta c) - \beta(-\Delta c)) = f'(c) + 0 = f'(c) $.

Итак, $ \forall c \in (a, b) \lim _{\Delta c \rightarrow 0}f'(c+ \Delta c) = f'(c) $, т.е. $ f'(c) $ непрерывна в $ c $.
Точка $ c $ взята произвольно, следовательно $ f'(x) $ непрерывна на $ (a, b) $.

[provincialka]

Не вчитывалась, но, насколько я помню, известная теорема гласит: "Если функция дифференцируема в каждой точке интервала, то она*её производная не может иметь на нем скачков (разрывов первого рода)"
Разрывы второго рода допускаются, пример прямо сейчас не приведу.

*исправлено

[RIP]

$f(x)=x^2\sin(1/x)$

[Anton_Peplov]

provincialka в сообщении #1065461 писал(а):

(разрывов первого рода)

И устранимых разрывов.

[Brukvalub]

При рассмотрении дифференцируемости сразу во многих точках очень полезно указывать явно, что бесконечно малая в определении дифференцируемости зависит не только от приращения, но и от той точки, в которой пишется дифференцируемость, тогда "доказательства" подобного рода сразу рассыпаются.

[se-sss]

RIP в сообщении #1065466 писал(а):

$f(x)=x^2\sin(1/x)$

Печаль. Дополнив этот пример нолём в точке 0, получил дифференцируемую везде функцию, но у производной нет предела в 0. То есть нет непрерывности.

А вот где ошибка в логике - непонятно.

[Brukvalub]

se-sss в сообщении #1065482 писал(а):

А вот где ошибка в логике - непонятно.

Так я же выше написАл, где ошибка.

[se-sss]

Brukvalub
Не виже применимости к моей логике.

(Оффтоп)

И вообще, как нам говорили на анализе, нет никаких бесконечно малых. Есть пределы.

[provincialka]

se-sss в сообщении #1065490 писал(а):

Не виже применимости к моей логике.

У вас $\alpha$ и $\beta$ зависят не только от $\Delta c$, но и от $c$.

[Nemiroff]

se-sss в сообщении #1065490 писал(а):

бесконечно малых

Бесконечно малая — это ваша функция $\alpha$.

provincialka в сообщении #1065461 писал(а):

Если функция дифференцируема в каждой точке интервала, то она*её производная не может иметь на нем скачков (разрывов первого рода)

Множество точек непрерывности производной непусто и является плотным $G_\delta$ подмножеством. Любое $F_\sigma$ множество первой категории ()и только оно) может быть множеством точек разрыва производной некоторой функции.

[Brukvalub]

provincialka, видимо, хотела упомянуть теорему Дарбу о производной

-- Чт окт 22, 2015 19:09:04 --

se-sss в сообщении #1065490 писал(а):

И вообще, как нам говорили на анализе, нет никаких бесконечно малых. Есть пределы.

"Оставьте этих глупостей!". Вот мама тоже всегда говорила Ньют, что чудовищ не бывает, а потом чудовища пришли и убили всех взрослых и братика Ньют...

[se-sss]

provincialka в сообщении #1065504 писал(а):

se-sss в сообщении #1065490 писал(а):

Не виже применимости к моей логике.

У вас $\alpha$ и $\beta$ зависят не только от $\Delta c$, но и от $c$.

Правильно. Я и "доказал" для каждой отдельно взятой точки с.

[Brukvalub]

se-sss в сообщении #1065516 писал(а):

Правильно. Я и "доказал" для каждой отдельно взятой точки с.

Используя в рассуждении бесконечно малые сразу для многих точек.

[tolstopuz]

se-sss в сообщении #1065459 писал(а):

Но $ f(x) $ диффференцируема и в точке $ c + \Delta c $.
Аналогично $ \exists $ непрерывная $ \beta(t): \beta(0)=0, \lim _{t \rightarrow 0} \beta(t) = 0 $ и
$ f(c) = f(c + \Delta c) + f'(c+ \Delta c)(-\Delta c) + \beta(-\Delta c)(-\Delta c) $

Для каждого $\Delta c$ эта $\beta$ может быть разной. Корректнее обозначить ее $\beta_{c+\Delta c}$.

se-sss в сообщении #1065459 писал(а):

Тогда $ \lim _{\Delta c \rightarrow 0}f'(c+ \Delta c)$

$= f'(c) + \lim _{\Delta c \rightarrow 0}(\alpha(\Delta c) - \beta_{c+\Delta c}(-\Delta c))$.

И что будем делать дальше?

[se-sss]

Погулял, подумал, понял.