Существует ли аналитическое решение задачи?

[Strange]

Во-первых, прошу прощения за возможные ляпы, поскольку математика - не та стихия, где я ощущаю себя рыбой в воде. Скорее, жабрами об лед.
Во-вторых, в силу оного же обстоятельства буду признателен за ответы уровня "Для самых тупых: рация на бронетранспортере!"
Теперь, собственно, сама задача. На поверхности сферы имеем множество фиксированных точек с известными координатами $V_1...V_H$. На этой же сфере имеем правильную (с равными ячейками) решетку с G узлами $N_1...N_G$. Решетку можем вращать относительно трех осей произвольным образом.
Для каждой точки $V_i$ при данном известном положении решетки определяем набор абсолютных углов $A_1...A_G$, где $A_j$ - угол между меридианом точки $V_i$ и направлением на узел решетки $N_j$.
На основе абсолютных углов А получаем множество относительных углов $R_{k,m}=A_k-A_m$.
Есть предположение, что существует положение решетки, при котором у всех точек V есть хотя бы один одинаковый относительный угол $R_{k,m}$. Поскольку все величины непрерывные, естественно, равенство углов определяется с каким-то допуском.
Вопрос: существует ли аналитическое решение этой задачи? Или здесь уместен только алгоритм британского музея?

[Pphantom]

Strange в сообщении #1065273 писал(а):

На этой же сфере имеем правильную (с равными ячейками) решетку с G узлами $N_1...N_G$.

Вот это - довольно скользкий момент. Что Вы называете "равными ячейками"?

[Strange]

Pphantom в сообщении #1065287 писал(а):

Strange в сообщении #1065273 писал(а):

На этой же сфере имеем правильную (с равными ячейками) решетку с G узлами $N_1...N_G$.

Вот это - довольно скользкий момент. Что Вы называете "равными ячейками"?

Смежные узлы решетки на поверхности сферы связаны между собой дугами больших кругов. Равные ячейки - все дуги равны между собой. Пример: узлы решетки образованы вершинами правильного многогранника, вписанного в данную сферу.

[Pphantom]

Strange в сообщении #1065331 писал(а):

Пример: узлы решетки образованы вершинами правильного многогранника, вписанного в данную сферу.

А только для таких случаев, кажется, и существует решение задачи в такой постановке. Т.е. проблемы с аналитическим решением исходной задачи "зарыты" уже прямо в постановке.

[Strange]

Pphantom в сообщении #1065376 писал(а):

А только для таких случаев, кажется, и существует решение задачи в такой постановке. Т.е. проблемы с аналитическим решением исходной задачи "зарыты" уже прямо в постановке.

Простите, это утверждение ни о чем мне не говорит.
Возможно, я недостаточно ясно сформулировал вопрос. Попробую объяснить "на пальцах" для однозначности.
Моих способностей хватает только на такой способ решения задачи: какое-то положение решетки принимаем за исходное. Для этого положения просчитываем все относительные углы $R_{m,k}$ для всех точек $V$. Убеждаемся, что нет ни одного общего для всех значения $R_{m,k}$. Поворачиваем решетку на, допустим, один градус (достаточная точность) вокруг оси Х. Повторяем расчеты, видим, что вновь мимо дырочки. Итак доходим до поворота на 180 градусов. Далее крутить нет смысла - результаты начнут повторяться.
Возвращаем решетку в исходное положение. Поворачиваем на один градус вокруг оси Y, и опять крутим вокруг оси Х. Ну, и так далее до посинения. Всего $180^3$ вариантов. По десять секунд машинного времени на вариант - год непрерывной работы компьютера.
В принципе, можно зарядить компьютер на год. Пусть считает. Но ведь хочется халявы!
Для чего интересует возможность решения данной задачи с другого конца. Организуем некое уравнение или систему уравнений, подставляя в которое координаты точек $V$ получаем возможные положения решетки, при которых для всех точек $V$ есть хотя бы одно общее значение $R_{m,k}$. Или не получаем - гипотеза может и не верна. Просто точек $V$ всего пара сотен - на несколько порядков меньше, нежели возможных положений решетки.

[Pphantom]

Strange в сообщении #1065413 писал(а):

Моих способностей хватает только на такой способ решения задачи: какое-то положение решетки принимаем за исходное.

Вы с самого начала исходите из предположения, что такая решетка существует. А мне именно этот тезис кажется сомнительным - по-видимому, в рамках принятого Вами определения такие решетки существуют для очень малого набора чисел $G$, причем небольших. Соответственно, перед решением основной задачи надо бы убедиться, что ее постановка имеет смысл.

[amon]

Pphantom в сообщении #1065424 писал(а):

Вы с самого начала исходите из предположения, что такая решетка существует. А мне именно этот тезис кажется сомнительным

Встряну, хотя, может, глупость скажу. IMHO, на сфере можно нарисовать бесконечное множество правильных решеток. Возьмём икосаэдр, и опишем вокруг него сферу. Через пары вершин проведем дуги большого круга. Получим "икосаэдр на сфере". Возьмём середины дуг какой-нибудь "треугольной грани". Казалось бы, ни что не мешает опять провести дуги через эти середины, проделать так со всеми "гранями" и получить "правильный сферический многогранник" с учетверенным числом граней. После этого можно продолжать заниматься этой ерундой до бесконечности. Где я вру?

[Xaositect]

amon в сообщении #1065471 писал(а):

Казалось бы, ни что не мешает опять провести дуги через эти середины, проделать так со всеми "гранями" и получить "правильный сферический многогранник" с учетверенным числом граней. После этого можно продолжать заниматься этой ерундой до бесконечности. Где я вру?

У центрального треугольника стороны будут меньше половины исходного.

[Pphantom]

amon в сообщении #1065471 писал(а):

Получим "икосаэдр на сфере". Возьмём середины дуг какой-нибудь "треугольной грани". Казалось бы, ни что не мешает опять провести дуги через эти середины, проделать так со всеми "гранями" и получить "правильный сферический многогранник" с учетверенным числом граней. После этого можно продолжать заниматься этой ерундой до бесконечности. Где я вру?

Вновь проведенные стороны будут короче, чем половины предыдущих.

Собственно, если бы подобная процедура была бы возможной, мы имели бы бесконечно много правильных многогранников с треугольными гранями, однако известно, что их существует ровно три.

[amon]

Ну, обещал же глупость сказать - и не соврал!

[Strange]

Pphantom в сообщении #1065424 писал(а):

в рамках принятого Вами определения такие решетки существуют для очень малого набора чисел $G$, причем небольших. Соответственно, перед решением основной задачи надо бы убедиться, что ее постановка имеет смысл.

Да, это действительно так. Более того, интересует только одна решетка - построенная на основе икосаэдра $G=12$. Не думал, что это имеет принципиальное значение, иначе говорил бы исключительно об этом случае.

[Pphantom]

Strange в сообщении #1065533 писал(а):

Да, это действительно так. Более того, интересует только одна решетка - построенная на основе икосаэдра $G=12$. Не думал, что это имеет принципиальное значение, иначе говорил бы исключительно об этом случае.

Ну так ведь никто, кроме Вас, не знает, что конкретно Вас интересует. Теперь, сильно сузив задачу, можно думать дальше.

[levtsn]

если строгое равенство граней не нужно то есть геосфера

[Strange]

Pphantom в сообщении #1065552 писал(а):

Ну так ведь никто, кроме Вас, не знает, что конкретно Вас интересует.

С одной стороны чем больше исходных данных, тем лучше. С другой - зачем грузить ни в чем не повинных людей ненужными подробностями? Приходится искать компромисс между этими сторонами. Увы, не всегда получается удачно.

levtsn в сообщении #1065555 писал(а):

если строгое равенство граней не нужно то есть геосфера

Нет, спасибо. Лучше со строгим равенством - вычисления проще.