2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Существует ли аналитическое решение задачи?
Сообщение22.10.2015, 00:16 
Во-первых, прошу прощения за возможные ляпы, поскольку математика - не та стихия, где я ощущаю себя рыбой в воде. Скорее, жабрами об лед.
Во-вторых, в силу оного же обстоятельства буду признателен за ответы уровня "Для самых тупых: рация на бронетранспортере!" :wink:
Теперь, собственно, сама задача. На поверхности сферы имеем множество фиксированных точек с известными координатами $V_1...V_H$. На этой же сфере имеем правильную (с равными ячейками) решетку с G узлами $N_1...N_G$. Решетку можем вращать относительно трех осей произвольным образом.
Для каждой точки $V_i$ при данном известном положении решетки определяем набор абсолютных углов $A_1...A_G$, где $A_j$ - угол между меридианом точки $V_i$ и направлением на узел решетки $N_j$.
На основе абсолютных углов А получаем множество относительных углов $R_{k,m}=A_k-A_m$.
Есть предположение, что существует положение решетки, при котором у всех точек V есть хотя бы один одинаковый относительный угол $R_{k,m}$. Поскольку все величины непрерывные, естественно, равенство углов определяется с каким-то допуском.
Вопрос: существует ли аналитическое решение этой задачи? Или здесь уместен только алгоритм британского музея?

 
 
 
 Re: Существует ли аналитическое решение задачи?
Сообщение22.10.2015, 00:46 
Strange в сообщении #1065273 писал(а):
На этой же сфере имеем правильную (с равными ячейками) решетку с G узлами $N_1...N_G$.
Вот это - довольно скользкий момент. Что Вы называете "равными ячейками"?

 
 
 
 Re: Существует ли аналитическое решение задачи?
Сообщение22.10.2015, 09:18 
Pphantom в сообщении #1065287 писал(а):
Strange в сообщении #1065273 писал(а):
На этой же сфере имеем правильную (с равными ячейками) решетку с G узлами $N_1...N_G$.
Вот это - довольно скользкий момент. Что Вы называете "равными ячейками"?


Смежные узлы решетки на поверхности сферы связаны между собой дугами больших кругов. Равные ячейки - все дуги равны между собой. Пример: узлы решетки образованы вершинами правильного многогранника, вписанного в данную сферу.

 
 
 
 Re: Существует ли аналитическое решение задачи?
Сообщение22.10.2015, 12:33 
Strange в сообщении #1065331 писал(а):
Пример: узлы решетки образованы вершинами правильного многогранника, вписанного в данную сферу.
А только для таких случаев, кажется, и существует решение задачи в такой постановке. Т.е. проблемы с аналитическим решением исходной задачи "зарыты" уже прямо в постановке.

 
 
 
 Re: Существует ли аналитическое решение задачи?
Сообщение22.10.2015, 14:46 
Pphantom в сообщении #1065376 писал(а):
А только для таких случаев, кажется, и существует решение задачи в такой постановке. Т.е. проблемы с аналитическим решением исходной задачи "зарыты" уже прямо в постановке.

Простите, это утверждение ни о чем мне не говорит.
Возможно, я недостаточно ясно сформулировал вопрос. Попробую объяснить "на пальцах" для однозначности.
Моих способностей хватает только на такой способ решения задачи: какое-то положение решетки принимаем за исходное. Для этого положения просчитываем все относительные углы $R_{m,k}$ для всех точек $V$. Убеждаемся, что нет ни одного общего для всех значения $R_{m,k}$. Поворачиваем решетку на, допустим, один градус (достаточная точность) вокруг оси Х. Повторяем расчеты, видим, что вновь мимо дырочки. Итак доходим до поворота на 180 градусов. Далее крутить нет смысла - результаты начнут повторяться.
Возвращаем решетку в исходное положение. Поворачиваем на один градус вокруг оси Y, и опять крутим вокруг оси Х. Ну, и так далее до посинения. Всего $180^3$ вариантов. По десять секунд машинного времени на вариант - год непрерывной работы компьютера.
В принципе, можно зарядить компьютер на год. Пусть считает. Но ведь хочется халявы! :-)
Для чего интересует возможность решения данной задачи с другого конца. Организуем некое уравнение или систему уравнений, подставляя в которое координаты точек $V$ получаем возможные положения решетки, при которых для всех точек $V$ есть хотя бы одно общее значение $R_{m,k}$. Или не получаем - гипотеза может и не верна. Просто точек $V$ всего пара сотен - на несколько порядков меньше, нежели возможных положений решетки.

 
 
 
 Re: Существует ли аналитическое решение задачи?
Сообщение22.10.2015, 15:15 
Strange в сообщении #1065413 писал(а):
Моих способностей хватает только на такой способ решения задачи: какое-то положение решетки принимаем за исходное.
Вы с самого начала исходите из предположения, что такая решетка существует. А мне именно этот тезис кажется сомнительным - по-видимому, в рамках принятого Вами определения такие решетки существуют для очень малого набора чисел $G$, причем небольших. Соответственно, перед решением основной задачи надо бы убедиться, что ее постановка имеет смысл.

 
 
 
 Re: Существует ли аналитическое решение задачи?
Сообщение22.10.2015, 17:44 
Аватара пользователя
Pphantom в сообщении #1065424 писал(а):
Вы с самого начала исходите из предположения, что такая решетка существует. А мне именно этот тезис кажется сомнительным
Встряну, хотя, может, глупость скажу. IMHO, на сфере можно нарисовать бесконечное множество правильных решеток. Возьмём икосаэдр, и опишем вокруг него сферу. Через пары вершин проведем дуги большого круга. Получим "икосаэдр на сфере". Возьмём середины дуг какой-нибудь "треугольной грани". Казалось бы, ни что не мешает опять провести дуги через эти середины, проделать так со всеми "гранями" и получить "правильный сферический многогранник" с учетверенным числом граней. После этого можно продолжать заниматься этой ерундой до бесконечности. Где я вру?

 
 
 
 Re: Существует ли аналитическое решение задачи?
Сообщение22.10.2015, 17:56 
Аватара пользователя
amon в сообщении #1065471 писал(а):
Казалось бы, ни что не мешает опять провести дуги через эти середины, проделать так со всеми "гранями" и получить "правильный сферический многогранник" с учетверенным числом граней. После этого можно продолжать заниматься этой ерундой до бесконечности. Где я вру?
У центрального треугольника стороны будут меньше половины исходного.

 
 
 
 Re: Существует ли аналитическое решение задачи?
Сообщение22.10.2015, 18:02 
amon в сообщении #1065471 писал(а):
Получим "икосаэдр на сфере". Возьмём середины дуг какой-нибудь "треугольной грани". Казалось бы, ни что не мешает опять провести дуги через эти середины, проделать так со всеми "гранями" и получить "правильный сферический многогранник" с учетверенным числом граней. После этого можно продолжать заниматься этой ерундой до бесконечности. Где я вру?
Вновь проведенные стороны будут короче, чем половины предыдущих.

Собственно, если бы подобная процедура была бы возможной, мы имели бы бесконечно много правильных многогранников с треугольными гранями, однако известно, что их существует ровно три.

 
 
 
 Re: Существует ли аналитическое решение задачи?
Сообщение22.10.2015, 18:09 
Аватара пользователя
Ну, обещал же глупость сказать - и не соврал!

 
 
 
 Re: Существует ли аналитическое решение задачи?
Сообщение22.10.2015, 19:41 
Pphantom в сообщении #1065424 писал(а):
в рамках принятого Вами определения такие решетки существуют для очень малого набора чисел $G$, причем небольших. Соответственно, перед решением основной задачи надо бы убедиться, что ее постановка имеет смысл.

Да, это действительно так. Более того, интересует только одна решетка - построенная на основе икосаэдра $G=12$. Не думал, что это имеет принципиальное значение, иначе говорил бы исключительно об этом случае.

 
 
 
 Re: Существует ли аналитическое решение задачи?
Сообщение22.10.2015, 20:30 
Strange в сообщении #1065533 писал(а):
Да, это действительно так. Более того, интересует только одна решетка - построенная на основе икосаэдра $G=12$. Не думал, что это имеет принципиальное значение, иначе говорил бы исключительно об этом случае.
Ну так ведь никто, кроме Вас, не знает, что конкретно Вас интересует. :D Теперь, сильно сузив задачу, можно думать дальше.

 
 
 
 Re: Существует ли аналитическое решение задачи?
Сообщение22.10.2015, 20:51 
Аватара пользователя
если строгое равенство граней не нужно то есть геосфера

 
 
 
 Re: Существует ли аналитическое решение задачи?
Сообщение22.10.2015, 22:57 
Pphantom в сообщении #1065552 писал(а):
Ну так ведь никто, кроме Вас, не знает, что конкретно Вас интересует.

С одной стороны чем больше исходных данных, тем лучше. С другой - зачем грузить ни в чем не повинных людей ненужными подробностями? Приходится искать компромисс между этими сторонами. Увы, не всегда получается удачно.

levtsn в сообщении #1065555 писал(а):
если строгое равенство граней не нужно то есть геосфера

Нет, спасибо. Лучше со строгим равенством - вычисления проще.

 
 
 [ Сообщений: 14 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group