Существование биекции RxR в R вида f(x,y) = g(x) + h(y)

[ISBA]

Ну, ещё раз задание:

Существует ли биекция $f\colon \mathbb{R}\times\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ вида $f(x,y) = \varphi(x) + \psi(y)$?

Я сначала пытался решить так: представим оба числа в виде двоичных дробей. Теперь заменим, скажем, в первом числе все единицы на двойки. Тогда при сложении получатся варианты:
$ 0 + 1 = 1$
$ 0 + 2 = 2$
$ 1 + 0 = 1$
$ 1 + 2 = 3$

Но интуитивно кажется, что получается много "лакун" в полученном множестве, и оно даже может быть равномощно $\mathbb{R}$, но само по себе как-то не $\mathbb{R}$.

Можно ли как-то сие исправить? Или надо смотреть в сторону принципиально других способов представления действительных чисел? Ещё везде в википедиях пишут о связи множества действительных чисел с базисом Гамеля континуальной размерности. Я смог представить себе вектор в континуальном пространстве. Я даже поверил, что среди них может быть континуум линейно неависимых векторов. Но у меня всё равно в голове плохо укладывается это предложение. Поможет ли поиск в этом направлении, и что надо читать?

[kp9r4d]

ISBA в сообщении #1065106 писал(а):

Поможет ли поиск в этом направлении, и что надо читать?

Да. Читать что угодно (хоть статью в википедии) про базис Гамеля, а ещё как-нибудь понять тот факт, что два векторных пространства над одним и тем же полем с базисами одинаковой мощности изоморфны.

[Brukvalub]

ISBA в сообщении #1065106 писал(а):

представим оба числа в виде двоичных дробей.

А что это такое: "двоичная дробь"?

[Xaositect]

Brukvalub в сообщении #1065125 писал(а):

А что это такое: "двоичная дробь"?

А это как десятичная дробь, только двоичная.

-- Ср окт 21, 2015 16:35:58 --

kp9r4d в сообщении #1065110 писал(а):

Да. Читать что угодно (хоть статью в википедии) про базис Гамеля, а ещё как-нибудь понять тот факт, что два векторных пространства над одним и тем же полем с базисами одинаковой мощности изоморфны.

Поле надо взять счетное, например, $\mathbb Q$

[Brukvalub]

Xaositect в сообщении #1065138 писал(а):

А это как десятичная дробь, только двоичная.

Как тогда можно проделать вот такое:

ISBA в сообщении #1065106 писал(а):

Теперь заменим, скажем, в первом числе все единицы на двойки.

(Оффтоп)

Жаль, что уважаемый Xaositect не догадался, что вопрос спровоцирован противоречиями ТС и адресован именно ТС.

[provincialka]

Brukvalub
Ну, формально говоря, кто ж мешает заменить? Просто в результате получится не двоичная дробь (а, скажем, троичная)... Но ТС, конечно, должен объясниться...

[ISBA]

Brukvalub в сообщении #1065125 писал(а):

ISBA в сообщении #1065106 писал(а):

представим оба числа в виде двоичных дробей.

А что это такое: "двоичная дробь"?

provincialka в сообщении #1065171 писал(а):

Ну, формально говоря, кто ж мешает заменить? Просто в результате получится не двоичная дробь (а, скажем, троичная)... Но ТС, конечно, должен объясниться...

Ну да, я довольно фривольно стал поступать с системой счисления, здесь-то и кроется, по моему мнению, невыполнение сюръективности для полученного отображения (но показывать это строже представления о "дырках" в полученном множестве мне не хочется - я недавно подвёргся мощному влиянию мысли "идея доказательства первостепенно, всякие формальности оставляй на потом, вплоть до опущения"). Я неявно преобразовал числа, записанные из нулей и единиц, нулей и двоек из двоичной системы в четверичную, а потом сложил числа уже в новой системе. Ну то есть инъекция есть, но вот не для каждой возможной суммы найдутся слагаемые. Как мне кажется. По-хорошему, надо вернуться к начальным главам анализа, где описываются позиционные системы счисления, и только потом говорить о правомерности тех или иных шагов. Но дяденька сказал, что не сюръективно, я, естественно, прохлопал ушами его контрпример, сам поверил в это и решил похоронить идею, благо на горизонте замаячила гораздо более забавная идея о бесконечномерности векторов. Хотя, как дедлайны пройдут, я бы хотел внимательнее рассмотреть многоходовочку с системами счисления и формально показать, что же там неправильно. Или вдруг окажется, что при определённой модификации правильно.

kp9r4d в сообщении #1065110 писал(а):

Да. Читать что угодно (хоть статью в википедии) про базис Гамеля, а ещё как-нибудь понять тот факт, что два векторных пространства над одним и тем же полем с базисами одинаковой мощности изоморфны.

Оказалось, что про это неплохо написано в "Началах теории множеств" Верещагина, Шеня, из которых я читал первую часть. Думал, вторая не понадобится, ан вот оно как вышло
Для меня проблематично уже то, что понятия гомоморфизма/линейного пространства мы ещё ни на каком из курсов не ввели, ну да Кострикин мне в помощь. В общем, как разберусь с основами, попробую расписать рассуждения уже с новой высоты (кстати, оказалось, что общую идею я уловил ещё когда только узнал про возможность создать бесконечномерное пространство. Условно говоря, если предположить, что действительное число можно как-то представить в виде разложения по бесконечномерному базису (именно этот пункт я и не мог вообразить), то если мы возьмем некий такой базис, разделим его на две части (получив те самым два базиса такой же мощности), то множество $X$ мы можем разложить по первой части, а $Y$ - по второй. Теперь если эти базисы обратно объединить и в них сложить вектора, то получатся суммы, из которых можно однозначно восстановить исходные слагаемые, при этом эти суммы есть разложения некоторого множества действительных чисел $Z$. Скорее всего, я сейчас употреблял какие-то неверные термины, может, даже говорил совершенно неверные утверждения - но мне польстило, что среди более строгих выкладок я увидел схожую идею. Осталось только разобраться, о чём же это я рассуждал ).