fixfix
2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Существование биекции RxR в R вида f(x,y) = g(x) + h(y)
Сообщение21.10.2015, 16:35 


10/10/15
10
Ну, ещё раз задание:

Существует ли биекция $f\colon \mathbb{R}\times\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ вида $f(x,y) = \varphi(x) + \psi(y)$?

Я сначала пытался решить так: представим оба числа в виде двоичных дробей. Теперь заменим, скажем, в первом числе все единицы на двойки. Тогда при сложении получатся варианты:
$ 0 + 1 = 1$
$ 0 + 2 = 2$
$ 1 + 0 = 1$
$ 1 + 2 = 3$

Но интуитивно кажется, что получается много "лакун" в полученном множестве, и оно даже может быть равномощно $\mathbb{R}$, но само по себе как-то не $\mathbb{R}$.

Можно ли как-то сие исправить? Или надо смотреть в сторону принципиально других способов представления действительных чисел? Ещё везде в википедиях пишут о связи множества действительных чисел с базисом Гамеля континуальной размерности. Я смог представить себе вектор в континуальном пространстве. Я даже поверил, что среди них может быть континуум линейно неависимых векторов. Но у меня всё равно в голове плохо укладывается это предложение. Поможет ли поиск в этом направлении, и что надо читать?

 Профиль  
                  
 
 Re: Существование биекции RxR в R вида f(x,y) = g(x) + h(y)
Сообщение21.10.2015, 16:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/02/14

1377
ISBA в сообщении #1065106 писал(а):
Поможет ли поиск в этом направлении, и что надо читать?

Да. Читать что угодно (хоть статью в википедии) про базис Гамеля, а ещё как-нибудь понять тот факт, что два векторных пространства над одним и тем же полем с базисами одинаковой мощности изоморфны.

 Профиль  
                  
 
 Re: Существование биекции RxR в R вида f(x,y) = g(x) + h(y)
Сообщение21.10.2015, 17:04 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
ISBA в сообщении #1065106 писал(а):
представим оба числа в виде двоичных дробей.

А что это такое: "двоичная дробь"? :shock:

 Профиль  
                  
 
 Re: Существование биекции RxR в R вида f(x,y) = g(x) + h(y)
Сообщение21.10.2015, 17:35 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
Brukvalub в сообщении #1065125 писал(а):
А что это такое: "двоичная дробь"? :shock:
А это как десятичная дробь, только двоичная.

-- Ср окт 21, 2015 16:35:58 --

kp9r4d в сообщении #1065110 писал(а):
Да. Читать что угодно (хоть статью в википедии) про базис Гамеля, а ещё как-нибудь понять тот факт, что два векторных пространства над одним и тем же полем с базисами одинаковой мощности изоморфны.
Поле надо взять счетное, например, $\mathbb Q$

 Профиль  
                  
 
 Re: Существование биекции RxR в R вида f(x,y) = g(x) + h(y)
Сообщение21.10.2015, 17:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Xaositect в сообщении #1065138 писал(а):
А это как десятичная дробь, только двоичная.

Как тогда можно проделать вот такое:
ISBA в сообщении #1065106 писал(а):
Теперь заменим, скажем, в первом числе все единицы на двойки.
:shock:

(Оффтоп)

Жаль, что уважаемый Xaositect не догадался, что вопрос спровоцирован противоречиями ТС и адресован именно ТС.

 Профиль  
                  
 
 Re: Существование биекции RxR в R вида f(x,y) = g(x) + h(y)
Сообщение21.10.2015, 18:32 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12065
Казань
Brukvalub
Ну, формально говоря, кто ж мешает заменить? Просто в результате получится не двоичная дробь (а, скажем, троичная)... Но ТС, конечно, должен объясниться...

 Профиль  
                  
 
 Re: Существование биекции RxR в R вида f(x,y) = g(x) + h(y)
Сообщение21.10.2015, 20:01 


10/10/15
10
Brukvalub в сообщении #1065125 писал(а):
ISBA в сообщении #1065106 писал(а):
представим оба числа в виде двоичных дробей.

А что это такое: "двоичная дробь"? :shock:


provincialka в сообщении #1065171 писал(а):
Ну, формально говоря, кто ж мешает заменить? Просто в результате получится не двоичная дробь (а, скажем, троичная)... Но ТС, конечно, должен объясниться...


Ну да, я довольно фривольно стал поступать с системой счисления, здесь-то и кроется, по моему мнению, невыполнение сюръективности для полученного отображения (но показывать это строже представления о "дырках" в полученном множестве мне не хочется - я недавно подвёргся мощному влиянию мысли "идея доказательства первостепенно, всякие формальности оставляй на потом, вплоть до опущения"). Я неявно преобразовал числа, записанные из нулей и единиц, нулей и двоек из двоичной системы в четверичную, а потом сложил числа уже в новой системе. Ну то есть инъекция есть, но вот не для каждой возможной суммы найдутся слагаемые. Как мне кажется. По-хорошему, надо вернуться к начальным главам анализа, где описываются позиционные системы счисления, и только потом говорить о правомерности тех или иных шагов. Но дяденька сказал, что не сюръективно, я, естественно, прохлопал ушами его контрпример, сам поверил в это и решил похоронить идею, благо на горизонте замаячила гораздо более забавная идея о бесконечномерности векторов. Хотя, как дедлайны пройдут, я бы хотел внимательнее рассмотреть многоходовочку с системами счисления и формально показать, что же там неправильно. Или вдруг окажется, что при определённой модификации правильно.

kp9r4d в сообщении #1065110 писал(а):
Да. Читать что угодно (хоть статью в википедии) про базис Гамеля, а ещё как-нибудь понять тот факт, что два векторных пространства над одним и тем же полем с базисами одинаковой мощности изоморфны.


Оказалось, что про это неплохо написано в "Началах теории множеств" Верещагина, Шеня, из которых я читал первую часть. Думал, вторая не понадобится, ан вот оно как вышло :-)
Для меня проблематично уже то, что понятия гомоморфизма/линейного пространства мы ещё ни на каком из курсов не ввели, ну да Кострикин мне в помощь. В общем, как разберусь с основами, попробую расписать рассуждения уже с новой высоты (кстати, оказалось, что общую идею я уловил ещё когда только узнал про возможность создать бесконечномерное пространство. Условно говоря, если предположить, что действительное число можно как-то представить в виде разложения по бесконечномерному базису (именно этот пункт я и не мог вообразить), то если мы возьмем некий такой базис, разделим его на две части (получив те самым два базиса такой же мощности), то множество $X$ мы можем разложить по первой части, а $Y$ - по второй. Теперь если эти базисы обратно объединить и в них сложить вектора, то получатся суммы, из которых можно однозначно восстановить исходные слагаемые, при этом эти суммы есть разложения некоторого множества действительных чисел $Z$. Скорее всего, я сейчас употреблял какие-то неверные термины, может, даже говорил совершенно неверные утверждения - но мне польстило, что среди более строгих выкладок я увидел схожую идею. Осталось только разобраться, о чём же это я рассуждал :D ).

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group