|
Благодарю всех за помощь (в т.ч. посредством личных сообщений)!!!
Суть задачи, приведшей ко всем этим уравнениям, следующая: есть экспериментальные данные (Yex - двумерный массив, Xex - одномерный массив) и некоторый физический закон, позволяющий найти эти данные путем расчета, но с неизвестными параметрами: a, Z, b, X, Y (формулы для расчета записана в числителе E и отнимается от Yex). Эти параметры надо опрелить так, чтобы минимизировать величину E, указанную вами и мной в начале. Но что более важно - необходимо, чтобы ОТНОСИТЕЛЬНАЯ погрешность между любой парой экспериментальных данных (Yex) и расчетных (полученных с использованием a, Z, b, X, Y) была меньше 10% (заданный фиксированный порог).
Задача осложняется последним обстоятельством (необходимостью сделать отн. пог. меньше 10%), а также наличием пропусков в исходных экспериментальных значениях Yex..
Для решения задачи я нахожу частные проихзводные по неизвестным параметрам, приравниваю их к нулю, нахожу оптимальные значения параметров и по ним нахожу расчетные значения и сопоставляю с экспериментальными. Пропуски заполняю методом средних, регрессией, а также учетом динамики других непропущенных значений (для даной задачи это имеет смысл).
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
В связи с этим несколько вопросов:
1) На ваш взгляд, правильно ли (оптимально ли) выбран критерий для минимизации- выражение E (с учетом 10% ограничения)?
2) Поскольку получающаяся система нелинейная и решается численными методами (я это делаю в Matlab), то есть вероятность плохой обусловленности якобиана. Для улучшения обусловленности я проводил нормировку якобиана по столбцам (делил элементы каждого столбца на евклидову норму столбца), получал решение и возвращался к исходному множеству путем домножения на матрицу, обратную матрице якобиана. Обусловленность улучшалась на 10 порядков. Может, есть какие-то еще способы улучшения обусловленности системы?
3) Пока мне не удается для всех случаев получить относительную погрешность в пределах 10%. Может, есть какие-то методы уточнения решения системы нелинейныхх уравнений? Например, я пробовал итерационное уточнение, но результат не сильно улучшался.
4) Какой, на ваш взгляд, оптимальный способ заполнения пропусков с учетом моего критерия (10% относительная погрешность между любой парой эксп. и расчетных данных)?
---------------------------------------------------------------------------------------------
Я уверен, что та задача, с которой я столкнулся, уже неоднократно решалась. часто требуется сделать относит. погрешногсть между эксперим. и расч. данными меньшей некоторого числа.
Заранее признателен за компетентную помощь и советы.
С уважением,
Dmitry
|
![$
\left\
$$ E = \sum\limits_{j=1}^J\sum\limits_{k=1}^K \left( \frac {\(Yex_j_k - a_k Xex_j + a_k Z_k (\sum\limits_{i=1}^N g_i_j X_i)\ - Y_j - b_k} {Yex_j_k} \right) ^2 \\
1) $\frac{\partial E}{\partial a_k}$ = 2 \sum\limits_{j=1}^J\sum\limits_{k=1}^K \frac {\( (Yex_j_k - a_k Xex_j + a_k Z_k (\sum\limits_{i=1}^N g_i_j X_i) \ - Y_j - b_k ) (-Xex_j + Z_k \sum\limits_{i=1}^N g_i_j X_i \ ) } {(Yex_j_k)^2} \\
2) $\frac{\partial E}{\partial b_k}$ = 2 \sum\limits_{j=1}^J\sum\limits_{k=1}^K \frac {\( (Yex_j_k - a_k Xex_j + a_k Z_k (\sum\limits_{i=1}^N g_i_j X_i) \ - Y_j - b_k ) (-1) } {(Yex_j_k)^2} \\
3) $\frac{\partial E}{\partial Z_k}$ = 2 \sum\limits_{j=1}^J\sum\limits_{k=1}^K \frac {\( (Yex_j_k - a_k Xex_j + a_k Z_k (\sum\limits_{i=1}^N g_i_j X_i) \ - Y_j - b_k ) (a_k \sum\limits_{i=1}^N g_i_j X_i \ ) } {(Yex_j_k)^2} \\
4) $\frac{\partial E}{\partial Y_j}$ = 2 \sum\limits_{j=1}^J\sum\limits_{k=1}^K \frac {\( (Yex_j_k - a_k Xex_j + a_k Z_k (\sum\limits_{i=1}^N g_i_j X_i) \ - Y_j - b_k ) (-1) } {(Yex_j_k)^2} \\
5) $\frac{\partial E}{\partial X_i}$ = 2 \sum\limits_{j=1}^J\sum\limits_{k=1}^K \frac {\( (Yex_j_k - a_k Xex_j + a_k Z_k (\sum\limits_{i=1}^N g_i_j X_i) \ - Y_j - b_k ) (a_k Z_k \sum\limits_{i=1}^N g_i_j \ ) } {(Yex_j_k)^2} \\
\right.
$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/6/b/a6b00cbf4b75d58ce63761f4920b84a282.png "$
\left\
$$ E = \sum\limits_{j=1}^J\sum\limits_{k=1}^K \left( \frac {\(Yex_j_k - a_k Xex_j + a_k Z_k (\sum\limits_{i=1}^N g_i_j X_i)\ - Y_j - b_k} {Yex_j_k} \right) ^2 \\
1) $\frac{\partial E}{\partial a_k}$ = 2 \sum\limits_{j=1}^J\sum\limits_{k=1}^K \frac {\( (Yex_j_k - a_k Xex_j + a_k Z_k (\sum\limits_{i=1}^N g_i_j X_i) \ - Y_j - b_k ) (-Xex_j + Z_k \sum\limits_{i=1}^N g_i_j X_i \ ) } {(Yex_j_k)^2} \\
2) $\frac{\partial E}{\partial b_k}$ = 2 \sum\limits_{j=1}^J\sum\limits_{k=1}^K \frac {\( (Yex_j_k - a_k Xex_j + a_k Z_k (\sum\limits_{i=1}^N g_i_j X_i) \ - Y_j - b_k ) (-1) } {(Yex_j_k)^2} \\
3) $\frac{\partial E}{\partial Z_k}$ = 2 \sum\limits_{j=1}^J\sum\limits_{k=1}^K \frac {\( (Yex_j_k - a_k Xex_j + a_k Z_k (\sum\limits_{i=1}^N g_i_j X_i) \ - Y_j - b_k ) (a_k \sum\limits_{i=1}^N g_i_j X_i \ ) } {(Yex_j_k)^2} \\
4) $\frac{\partial E}{\partial Y_j}$ = 2 \sum\limits_{j=1}^J\sum\limits_{k=1}^K \frac {\( (Yex_j_k - a_k Xex_j + a_k Z_k (\sum\limits_{i=1}^N g_i_j X_i) \ - Y_j - b_k ) (-1) } {(Yex_j_k)^2} \\
5) $\frac{\partial E}{\partial X_i}$ = 2 \sum\limits_{j=1}^J\sum\limits_{k=1}^K \frac {\( (Yex_j_k - a_k Xex_j + a_k Z_k (\sum\limits_{i=1}^N g_i_j X_i) \ - Y_j - b_k ) (a_k Z_k \sum\limits_{i=1}^N g_i_j \ ) } {(Yex_j_k)^2} \\
\right.
$")
, 
и 
, j в 
), а справа эти переменные связаны, т.к. по ним идёт суммирование. Т.е. Вы путаете индекс переменной, по которой производится дифференцирование, с индексом, по которому производится сумирование справа. По-моему, 
и т.п. справа нужно опустить, но вроде ещё ошибки есть...![$
\left\
1) $\frac{\partial E}{\partial a_k}$ = 2 \sum\limits_{j=1}^J \frac {\( (Yex_j_k - a_k Xex_j + a_k Z_k (\sum\limits_{i=1}^N g_i_j X_i) \ - Y_j - b_k ) (-Xex_j + Z_k \sum\limits_{i=1}^N g_i_j X_i \ ) } {(Yex_j_k)^2} \\
2) $\frac{\partial E}{\partial b_k}$ = 2 \sum\limits_{j=1}^J \frac {\( (Yex_j_k - a_k Xex_j + a_k Z_k (\sum\limits_{i=1}^N g_i_j X_i) \ - Y_j - b_k ) (-1) } {(Yex_j_k)^2} \\
3) $\frac{\partial E}{\partial Z_k}$ = 2 \sum\limits_{j=1}^J \frac {\( (Yex_j_k - a_k Xex_j + a_k Z_k (\sum\limits_{i=1}^N g_i_j X_i) \ - Y_j - b_k ) (a_k \sum\limits_{i=1}^N g_i_j X_i \ ) } {(Yex_j_k)^2} \\
4) $\frac{\partial E}{\partial Y_j}$ = 2 \sum\limits_{k=1}^K \frac {\( (Yex_j_k - a_k Xex_j + a_k Z_k (\sum\limits_{i=1}^N g_i_j X_i) \ - Y_j - b_k ) (-1) } {(Yex_j_k)^2} \\
5) $\frac{\partial E}{\partial X_i}$ = 2 \sum\limits_{j=1}^J\sum\limits_{k=1}^K \frac {\( (Yex_j_k - a_k Xex_j + a_k Z_k (\sum\limits_{i=1}^N g_i_j X_i) \ - Y_j - b_k ) (a_k Z_k g_i_j \ ) } {(Yex_j_k)^2} \\
\right.
$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/a/5/ca543f6718a4446fb3a2a990051a540b82.png "$
\left\
1) $\frac{\partial E}{\partial a_k}$ = 2 \sum\limits_{j=1}^J \frac {\( (Yex_j_k - a_k Xex_j + a_k Z_k (\sum\limits_{i=1}^N g_i_j X_i) \ - Y_j - b_k ) (-Xex_j + Z_k \sum\limits_{i=1}^N g_i_j X_i \ ) } {(Yex_j_k)^2} \\
2) $\frac{\partial E}{\partial b_k}$ = 2 \sum\limits_{j=1}^J \frac {\( (Yex_j_k - a_k Xex_j + a_k Z_k (\sum\limits_{i=1}^N g_i_j X_i) \ - Y_j - b_k ) (-1) } {(Yex_j_k)^2} \\
3) $\frac{\partial E}{\partial Z_k}$ = 2 \sum\limits_{j=1}^J \frac {\( (Yex_j_k - a_k Xex_j + a_k Z_k (\sum\limits_{i=1}^N g_i_j X_i) \ - Y_j - b_k ) (a_k \sum\limits_{i=1}^N g_i_j X_i \ ) } {(Yex_j_k)^2} \\
4) $\frac{\partial E}{\partial Y_j}$ = 2 \sum\limits_{k=1}^K \frac {\( (Yex_j_k - a_k Xex_j + a_k Z_k (\sum\limits_{i=1}^N g_i_j X_i) \ - Y_j - b_k ) (-1) } {(Yex_j_k)^2} \\
5) $\frac{\partial E}{\partial X_i}$ = 2 \sum\limits_{j=1}^J\sum\limits_{k=1}^K \frac {\( (Yex_j_k - a_k Xex_j + a_k Z_k (\sum\limits_{i=1}^N g_i_j X_i) \ - Y_j - b_k ) (a_k Z_k g_i_j \ ) } {(Yex_j_k)^2} \\
\right.
$")
и отредактируйте его.