Из Колмогорова-Фомина(Аксиомы отделимости)

[Rich]

В КФ нашел следующие эквивалентные утверждения: 1) Любая точка и не содержащее её замкнутое множество имеют непересекающиеся окрестности 2) Любая окрестность произвольной точки содержит меньшую окрестность той же точки, входящую в исходную окрестность вместе со своим замыканием.

Возникла следующая идея:
Чтобы доказать из второго утверждение первое, достаточно рассмотреть случай когда окрестность замкнутого множества захватывает нашу точку. Дальше можно из этой окрестности выкинуть замкнутое подмножество вокруг точки, которое дано нам условием. В результате получим две непересекающиеся окрестности(надо брать окрестность вокруг точки без замыкания).

А в обратную сторону, не могу сообразить. Поможете?

[Xaositect]

Рассмотрите точку и дополнение окрестности.

[Anton_Peplov]

Пусть в пространстве выполняется третья аксиома отделимости. Пусть $O_x$ - окрестность точки $x$. Тогда у замкнутого $X \verb \ O_x$ найдется такая окрестность $V$, а у $x$ такая окрестность $U_x$, что $V$ и $U_x$ не пересекаются. Докажите, что $[U_x]\subset X \verb \V \subset O_x$.

[Rich]

Включения без замыкания для меня достаточно очевидны. Однако, почему в первом включении не может быть равенства, непонятно.

[Anton_Peplov]

А кто сказал, что его не может быть? В аксиоме отделимости такого не написано.
Вот в дискретном пространстве оно (равенство) есть.