2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Из Колмогорова-Фомина(Аксиомы отделимости)
Сообщение21.10.2015, 13:54 
В КФ нашел следующие эквивалентные утверждения: 1) Любая точка и не содержащее её замкнутое множество имеют непересекающиеся окрестности 2) Любая окрестность произвольной точки содержит меньшую окрестность той же точки, входящую в исходную окрестность вместе со своим замыканием.

Возникла следующая идея:
Чтобы доказать из второго утверждение первое, достаточно рассмотреть случай когда окрестность замкнутого множества захватывает нашу точку. Дальше можно из этой окрестности выкинуть замкнутое подмножество вокруг точки, которое дано нам условием. В результате получим две непересекающиеся окрестности(надо брать окрестность вокруг точки без замыкания).

А в обратную сторону, не могу сообразить. Поможете?

 
 
 
 Re: Из Колмогорова-Фомина(Аксиомы отделимости)
Сообщение21.10.2015, 14:08 
Аватара пользователя
Рассмотрите точку и дополнение окрестности.

 
 
 
 Re: Из Колмогорова-Фомина(Аксиомы отделимости)
Сообщение21.10.2015, 14:11 
Аватара пользователя
Пусть в пространстве выполняется третья аксиома отделимости. Пусть $O_x$ - окрестность точки $x$. Тогда у замкнутого $X \verb \ O_x$ найдется такая окрестность $V$, а у $x$ такая окрестность $U_x$, что $V$ и $U_x$ не пересекаются. Докажите, что $[U_x]\subset X \verb \V \subset O_x$.

 
 
 
 Re: Из Колмогорова-Фомина(Аксиомы отделимости)
Сообщение21.10.2015, 17:25 
Включения без замыкания для меня достаточно очевидны. Однако, почему в первом включении не может быть равенства, непонятно.

 
 
 
 Re: Из Колмогорова-Фомина(Аксиомы отделимости)
Сообщение21.10.2015, 19:30 
Аватара пользователя
А кто сказал, что его не может быть? В аксиоме отделимости такого не написано.
Вот в дискретном пространстве оно (равенство) есть.

 
 
 [ Сообщений: 5 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group