Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия, Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки
В КФ нашел следующие эквивалентные утверждения: 1) Любая точка и не содержащее её замкнутое множество имеют непересекающиеся окрестности 2) Любая окрестность произвольной точки содержит меньшую окрестность той же точки, входящую в исходную окрестность вместе со своим замыканием.
Возникла следующая идея: Чтобы доказать из второго утверждение первое, достаточно рассмотреть случай когда окрестность замкнутого множества захватывает нашу точку. Дальше можно из этой окрестности выкинуть замкнутое подмножество вокруг точки, которое дано нам условием. В результате получим две непересекающиеся окрестности(надо брать окрестность вокруг точки без замыкания).
А в обратную сторону, не могу сообразить. Поможете?
Xaositect
Re: Из Колмогорова-Фомина(Аксиомы отделимости)
21.10.2015, 14:08
Рассмотрите точку и дополнение окрестности.
Anton_Peplov
Re: Из Колмогорова-Фомина(Аксиомы отделимости)
21.10.2015, 14:11
Пусть в пространстве выполняется третья аксиома отделимости. Пусть - окрестность точки . Тогда у замкнутого найдется такая окрестность , а у такая окрестность , что и не пересекаются. Докажите, что .
Rich
Re: Из Колмогорова-Фомина(Аксиомы отделимости)
21.10.2015, 17:25
Включения без замыкания для меня достаточно очевидны. Однако, почему в первом включении не может быть равенства, непонятно.
Anton_Peplov
Re: Из Колмогорова-Фомина(Аксиомы отделимости)
21.10.2015, 19:30
Последний раз редактировалось Anton_Peplov 21.10.2015, 19:42, всего редактировалось 1 раз.
А кто сказал, что его не может быть? В аксиоме отделимости такого не написано. Вот в дискретном пространстве оно (равенство) есть.