Оценка разности членов последовательности через функцию

[ProPupil]

Функции предполагаются определёнными на измеримом множестве $E \subset \mathbb R^n$.
Задача: Пусть $\{u_n\}_{n=1}^\infty$ - последовательность простых функций, такая, что $\int\limits_E |u-u_n|\,dx < \frac{\varepsilon}{2^{n+2}}$.
Доказать, что

$$\sum\limits_{k=1}^\infty \int\limits_E |u_n-u_{n-1}|\,dx < \int\limits_E |u|\,dx+\varepsilon$$

.

Попытки решения: Очевидно, что $u = \sum\limits_{k=1}^\infty (u_n-u_{n-1})$ (я полагаю $u_0=0$), однако отсюда я получаю неравенство не в ту сторону, в которую мне надо.

Если я пытаюсь работать с модулем, то стандартная техника $|u_n-u_{n-1}| < |(u_n - u) + (u-u_{n-1})|$ не сработает, поскольку я должен получить справа модуль $|u|$.
Если делать нестандартно, то возникает величина $|(u-u_{n-1})+u_n|$, с которой тоже непонятно как бороться. Дайте подсказку, пожалуйста.

[ProPupil]

Скажите, пожалуйста, этот вопрос слишком очевиден, или, наоборот, слишком не очевиден? Просто я не могу понять причины молчания.
Естественно, эта задача возниклав процессе решения другой задачи.

Исходная задача касалась представления исходной функции в виде счетной линейной комбинации индикаторных функций.

[sup]

ProPupil в сообщении #1063875 писал(а):

Если я пытаюсь работать с модулем, то стандартная техника $|u_n-u_{n-1}| < |(u_n - u) + (u-u_{n-1})|$ не сработает, поскольку я должен получить справа модуль $|u|$.

А Вы не забыли, часом, что $u_0 \equiv 0$?

[DiMath]

ProPupil Во первых, у Вас какая то путаница в обозначениях. Вы суммируете по $k$ выражение не зависящее от него. Наверно имелось ввиду суммирование по $n$.
Во вторых, $|u_{n}-u_{n-1}|\leqslant |u_{n}-u|+|u-u_{n-1}|$. Используя это, а так же, полагая $u_{0}=0$, получаем:

$$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\int\limits_{E}^{}|u_{n}-u_{n-1}|dx\leqslant \int\limits_{E}^{}|u_{1}-u|dx+\int\limits_{E}^{}|u-u_{0}|dx+\sum\limits_{n=2}^{\infty}\int\limits_{E}^{}|u_{n}-u|dx+\sum\limits_{n=2}^{\infty}\int\limits_{E}^{}|u-u_{n-1}|dx<$$

$$<\int\limits_{E}^{}|u|dx+ 2\sum\limits_{n=2}^{\infty}\frac{\varepsilon}{2^{n+1}}<\int\limits_{E}^{}|u|dx+\varepsilon$$

[ProPupil]

Большое спасибо за ответ. Сама задача возникла в рамках доказательства следующего утверждения:

Пусть $u \in L_1(E)$. Тогда $\forall \varepsilon > 0$ найдутся такие измеримые множества $E_k$ и числа $x_k$, что $u = \sum\limits_{k=1}^\infty x_k\chi_{E_k}(t)$, где ряд сходится п. в., причём

$$\int\limits_E |u|\,dx \leq \sum\limits_{k=1}^\infty |x_k|\operatorname{mes} E_k \leq \int\limits_E |u|\,dx + \varepsilon$$

Соответственно, для полного доказательства как раз и не хватало того свойства, которое вынесено в заголовок.

Ещё раз большое спасибо.