2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Собственные вектора
Сообщение19.10.2015, 01:28 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/09/13
3156
Вероятно я просто забыл соответствующую тему (а может и не знал). Прошу подсказать учебник и/или теоремы.
Есть (действительная) матрица $A$ размера $m\times n$. Интересует связь собственных чисел и собственных векторов матриц $AA'$ и $A'A$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Собственные вектора
Сообщение19.10.2015, 01:40 
Заслуженный участник


11/05/08
32089
Geen в сообщении #1064211 писал(а):
Интересует связь собственных чисел и собственных векторов матриц $AA'$ и $A'A$.

Собственные числа одинаковы (и неотрицательны), собственные же векторы -- "биортогональны". Первое достаточно нетривиально и следует, в принципе, из второго.

 Профиль  
                  
 
 Re: Собственные вектора
Сообщение19.10.2015, 01:49 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/09/13
3156
ewert в сообщении #1064215 писал(а):
Geen в сообщении #1064211 писал(а):
Интересует связь собственных чисел и собственных векторов матриц $AA'$ и $A'A$.

Собственные числа одинаковы (и неотрицательны), собственные же векторы -- "биортогональны". Первое достаточно нетривиально и следует, в принципе, из второго.

Что-то подобное я и предполагал, но хотелось бы почитать доказательства. Не могли бы Вы указать путь? :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Собственные вектора
Сообщение19.10.2015, 01:57 
Заслуженный участник


11/05/08
32089
Не мог бы. Это достаточно долгая история. Первое, что приходит в голову -- это книжка Воеводина и Кузнецова "Матрицы и вычисления". Где-то вокруг "сингулярных чисел". Это, правда, не учебник, а справочник, содержащий лишь сводку фактов; однако расположены они там настолько продуманно, что каждый следующий вытекает из предыдущих практически на автомате. В этой теме, во всяком случае, кажется, так.

 Профиль  
                  
 
 Re: Собственные вектора
Сообщение19.10.2015, 01:59 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/09/13
3156
Спасибо, попробую.

 Профиль  
                  
 
 Re: Собственные вектора
Сообщение19.10.2015, 01:59 


07/04/15
244
Geen
Первое можно показать кажется вообще для любых $A,B$ матриц. Но у вас здесь проще:
$$A'Ax=\lambda x$$
$$ AA'(Ax)=\lambda (Ax) $$

 Профиль  
                  
 
 Re: Собственные вектора
Сообщение19.10.2015, 03:27 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
10415
Hogtown
Только ненулевые с.з. совпадают (с учётом кратностей). В кратности с.з. = 0 будет разница (при неквадратной матрице). При этом же собственные вектора имеют разные размерности.

 Профиль  
                  
 
 Re: Собственные вектора
Сообщение19.10.2015, 11:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/09/13
3156
2old в сообщении #1064227 писал(а):
Но у вас здесь проще

Да, действительно. Большое спасибо.

-- 19.10.2015, 11:15 --

Red_Herring в сообщении #1064261 писал(а):
При этом же собственные вектора имеют разные размерности.

Да, они, как раз, через $A$ связаны.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group