2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Совпадают ли ранги данных матриц?
Сообщение19.10.2015, 01:40 
Если $A$ и $B$ -- квадратные матрицы одного порядка.

Правда ли, что ранги матриц $AB$ и $BA$ совпадают?

Понятно, что далеко не для всех матриц $AB=BA$. Даже в общем случае элементы произведения не совпадают.

Можно попробовать через миноры.

$\det(A\cdot B)=\det{A}\cdot\det{B}=\det(B\cdot A)$

Если ни один из определителей $A$ или $B$ не равен нулю, то все автоматически ранг равен порядку матрицы $A$.

Если один из определителей $A$ или $B$ равен нулю, то нужно смотреть миноры на порядок меньше. Но тут уже сложнее. Как тут быть?

 
 
 
 Re: Совпадают ли ранги данных матриц?
Сообщение19.10.2015, 01:50 
Определитель какая-то слишком сложная вещь. Подумайте, если обе матрицы не полного ранга, то какие (относительно друга) вектора у них могут быть в ядре, а потом подумайте про проекторы ну и получится пример. Как-то криво я сказал, в общем думайте про проекторы :)

 
 
 
 Re: Совпадают ли ранги данных матриц?
Сообщение19.10.2015, 02:09 
2old в сообщении #1064220 писал(а):
Определитель какая-то слишком сложная вещь. Подумайте, если обе матрицы не полного ранга, то какие (относительно друга) вектора у них могут быть в ядре, а потом подумайте про проекторы ну и получится пример. Как-то криво я сказал, в общем думайте про проекторы :)

Спасибо. А если проекторы еще не проходили?

 
 
 
 Re: Совпадают ли ранги данных матриц?
Сообщение19.10.2015, 02:16 
samuil
Можете выписать для двухмерного пространства матрицу, которая из вектора $(x,y)$ делала вектор $(0,y)$?

 
 
 
 Re: Совпадают ли ранги данных матриц?
Сообщение19.10.2015, 02:21 
$$\begin{pmatrix}
 y&-x   \\
 0& 1  \\ 
\end{pmatrix}$$

 
 
 
 Re: Совпадают ли ранги данных матриц?
Сообщение19.10.2015, 02:25 
samuil
В общем как я спросил, так вы и ответили)). Ну а про матрицу

$$
\begin{pmatrix}
0 & 0 \\ 
0 & 1
\end{pmatrix}
$$

что скажете?

 
 
 
 Re: Совпадают ли ранги данных матриц?
Сообщение19.10.2015, 02:26 
2old в сообщении #1064244 писал(а):
samuil
В общем как я спросил, так вы и ответили)). Ну а про матрицу

$$
\begin{pmatrix}
0 & 0 \\ 
0 & 1
\end{pmatrix}
$$

что скажете?


Тоже сгодится. Ранг ее 1

 
 
 
 Re: Совпадают ли ранги данных матриц?
Сообщение19.10.2015, 02:36 
samuil
Ну вот она подойдет для всех $(x,y)$, а у вас вышло каждому вектору своя матрица. Теперь запишите проектор на ось $Ox$ и проверьте ваше утверждение на этих двух матрицах.

 
 
 
 Re: Совпадают ли ранги данных матриц?
Сообщение15.12.2023, 23:19 
2old в сообщении #1064248 писал(а):
Ну вот она подойдет для всех $(x,y)$, а у вас вышло каждому вектору своя матрица. Теперь запишите проектор на ось $Ox$ и проверьте ваше утверждение на этих двух матрицах.

Пока что не удалось разобраться с этим вопросом :mrgreen: Но спасибо за идею

 
 
 
 Re: Совпадают ли ранги данных матриц?
Сообщение17.12.2023, 08:35 
Аватара пользователя
Идею насчёт проекторов я не понял. У меня получается, что они коммутируют и их произведение - нулевая матрица. То есть, это не контрпример. Вот контрпример: $A=(1,-2)'$ , $B=(8,4)$ .

 
 
 
 Re: Совпадают ли ранги данных матриц?
Сообщение17.12.2023, 09:15 
Аватара пользователя
samuil в сообщении #1622528 писал(а):
Пока что не удалось разобраться с этим вопросом

Возьмите матрицу $A=\begin{pmatrix} 0&1 \\ 0& 1 \\\end{pmatrix}$, подберите вторую матрицу $B$, чтобы произведение $AB$ равнялось нулю, а $BA$ нет.

 
 
 [ Сообщений: 11 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group