Доказать неравенство

[iou]

Доказать, что

$$\frac{1}{n+1}<\ln(1+\frac{1}{n})<\frac{1}{n}, n\in\mathbb{N}$$

Мне кажется, тут нужно как-то связать всё это дело с замечательным пределом и посредством предельного перехода что-то доказывать, но неясно как это реализовать, поскольку слева и справа какие-то последовательности, а по середине какая-то последовательность значений, и просто осуществлять манипуляции с выражением под логарифмом не получится.

[Ms-dos4]

iou
Заметьте, что $\[{(1 + \frac{1}{n})^{ - 1}} < \frac{1}{\xi } < 1\]$ для $\[1 < \xi < 1 + \frac{1}{n}\]$ и проинтегрируйте первое от $\[1\]$ до $\[{n + 1}\]$

[iou]

Ms-dos4 в сообщении #1064208 писал(а):

iou
Заметьте, что $\[{(1 + \frac{1}{n})^{ - 1}} < \frac{1}{\xi } < 1\]$ для $\[1 < \xi < 1 + \frac{1}{n}\]$ и проинтегрируйте первое от $\[1\]$ до $\[{n + 1}\]$

А можно что-то без интегралов придумать?

[ewert]

Интегрировать тут неприлично. Тут в ту сторону, что $(1+\frac1n)^n$ монотонно возрастает, в то время как $(1+\frac1n)^{n+1}$ монотонно убывает. А как минимум второй из этих фактов -- стандартное средство для доказательства существования вообще этого предела (без первого при доказательстве легко обойтись, но он доказывается ровно так же, как и второй).

[iou]

ewert в сообщении #1064214 писал(а):

Интегрировать тут неприлично. Тут в ту сторону, что $(1+\frac1n)^n$ монотонно возрастает, в то время как $(1+\frac1n)^{n+1}$ монотонно убывает. А как минимум второй из этих фактов -- стандартное средство для доказательства существования вообще этого предела (без первого при доказательстве легко обойтись, но он доказывается ровно так же, как и второй).

Простите, не понимаю, как связать эти факты с этим неравенством. Хотя знакомый сказал доказывать точно также, как и предложили Вы, но я всё равно упорно не могу понять.

[ewert]

iou в сообщении #1064222 писал(а):

не понимаю, как связать эти факты с этим неравенством.

Разбейте цепочку на два неравенства и перекиньте в каждом из них дробь в показатель под логарифмом. И поскольку в обоих случаях предел подлогарифменного выражения будет откровенно стремиться к $e$ -- всё сведётся именно к монотонности.

[iou]

ewert в сообщении #1064231 писал(а):

iou в сообщении #1064222 писал(а):

не понимаю, как связать эти факты с этим неравенством.

Разбейте цепочку на два неравенства и перекиньте в каждом из них дробь в показатель под логарифмом. И поскольку в обоих случаях предел подлогарифменного выражения будет откровенно стремиться к $e$ -- всё сведётся именно к монотонности.

Спасибо, разобрался!

[ewert]

Только имейте в виду, что в самой постановке задачки имеется некоторое жульничество. На данный момент (т.е. на начало, или ближе к концу первой половины первого семестра) вы ещё не имеете, строго говоря, ни малейшего представления о том, что такое логарифм. И даже -- что такое показательная функция. Т.е. в школе вы все их учили, естественно, и к ним привыкли, но что это в точности означает -- вы, формально говоря, не знаете. Это гораздо позже узнается, когда от последовательностей дело плавно перетечёт к непрерывности функций. Если узнается, конечно.

Что не отменяет содержательности задачки. Просто полезно отдавать себе отчёт в том, что и когда корректно абсолютно, а когда -- некоторый перескок.