Физический смысл координат Леметра.

[Erleker]

Как известно,в метрике Шварцшильда:
$ds^2=(1-r_g/r)c^2dt^2+dr^2/(1-rg/r)+r^2(do^2-\sin^2oda)$(*$a,o$-углы,я просто не знаю как тут другие переменные вводить)
присутствует сингулярность на $r=r_g$
Эта сингулярность не физическая и убирается выбором других координат,например Леметра$(R,T)$.

Я читал про эти координаты в книге "Новиков Фролов "Физика черных дыр""(ссылка на параграф:http://alexandr4784.narod.ru/astrof4/astrof4_02_24.pdf) и там их смысл объясняется как выбор их через часы и метки на частицах,свободно падающих и имеющих нулевую скорость скорость на бесконечности($E=mc^2$).
Как я понимаю,каждой частице присваивается начальный радиус $r_1$ в момент $T=0$.То есть одновременно помечают частицу и запускают часы на ней.Координаты события $r_1,T$ и будут отвечать времени на часах частицы в той же точке и ее метке.Дифференциал этих координат,понятно будет стремящееся к нулю $r1(2)-r1(1)$ и $T(2)-T(1)$ (между частицами $2$ и $1$,на которых и происходят события).
Собственное время такой частицы,выраженное через ее $r1$ и $r$ (то есть такая координата события):
$T=2/3r_g/c[(r1/r_g)^{3/2}-(r/r_g)^{3/2}]$
Было указано,что в качестве координаты удобнее использовать не $r_1$,а $R=2/3r_g(r_1/r_g)^{3/2}$
Метрика этой СК:
$ds^2=-c^2dT^2+dR^2/(3/2(R-cT)/r_g)^{2/3}+{(3/2(R-cT)/r_g)}^{4/3}r_g^2(do^2+\sin^2oda^2)$
Обратные преобразования:
$r=(3/2(R-cT)/r_g)^{2/3}r_g$(1)
$t=r_g/c(-2/3(r/r_g)^{3/2}-2(r/r_g)^{1/2}+\ln[(\sqrt{r/r_g}+1)/(\sqrt{r/r_g}-1)]+R/r_g)$(2)

К вопросу:
Преобразование (1) мне понятно,оно получается из выражения для собственного времени.
У меня вопрос,касаемо (2).Получается что момент $T=0$ не нулевой по $t$ ,он зависит от координаты$R$,то есть частицы стартуют неодновременно?Как именно так выбрали $t_0(r_1)$?И зачем,почему?
Я просто немного запутался,а сам вывод через физический смысл нигде не приведен.
Помогите разобраться.

[Munin]

Я бы на координаты Леметра вообще плюнул, ни для чего они не нужны. Знакомы ли вам координаты Эддингтона-Финкельштейна? Крускала-Секереша?

[Erleker]

Munin в сообщении #1063840 писал(а):

Я бы на координаты Леметра вообще плюнул, ни для чего они не нужны.

Почему не нужны?Ну тут я спорить впрочем не буду,но с вопросом мне бы хотелось разобраться.Как именно стартуют частицы,их реализующие, по времени $t$?

Munin в сообщении #1063840 писал(а):

Знакомы ли вам координаты Эддингтона-Финкельштейна? Крускала-Секереша?

Первые это где в качестве координаты вместо времени $t$ метка $V$ (начальный радиус) на фотоне?Да,они же в той же книге потом описаны(в том же параграфе).
$ds^2=-(1-r_g/r)dV^2+2dVdr+r^2(do^2+\sin^2oda^2)$
Последние именно "знакомы"(и не более)(пока):).

[Munin]

Как стартуют частицы, реализующие Леметра - можно представить себе, посмотрев, как они пересекают некоторый фиксированный радиус. Это рис. 1 указанного вами § 2.4 книги Новикова-Фролова.

[Erleker]

Munin в сообщении #1063911 писал(а):

Как стартуют частицы, реализующие Леметра - можно представить себе, посмотрев, как они пересекают некоторый фиксированный радиус. Это рис. 1 указанного вами § 2.4 книги Новикова-Фролова.

Ну так,этот рисунок показывает пересечение линии $R=const$ и $r=const$
Понятно,что даже если бы они стартовали одновременно по $t$,то в любом случае разные частицы пересекут сферу в разное время как и по $t$,так и по собственному времени $T$.Из этого рисунка мне не ясно,как выбрано $t(T=0)$ в зависимости от $R$.

[Munin]

Да, кажется, в Новикове-Фролове этого не написано.
Но координаты Леметра введены ещё и в Ландау-Лифшице (ЛЛ-2 Теория поля). И там сказано, что время $T$ (там - $\tau$) подобрано так, чтобы система координат была синхронной. То есть, $g_{TT}=1,$ и я так понимаю, $g_{TR}=0.$ Как видно по результату, так оно и есть. Если бы часы падающих частиц были запущены в другой момент времени, то это привело бы к рассинхронизации, $g_{TR}\ne 0,$ как легко понять на аналогии со СТО.

[Erleker]

Мы выбрали в качестве координаты собственное время $T$ на совокупности частиц.Оно является физическим при $dR=0$(мы рассматриваем 2 события на часах одной частицы),поэтому для этого случая время будет входить как $c^2dT^2$.Так как метрический тензор не может зависеть от дифференциалов координат,то такая метрика в любом случае должна иметь
вид с $g_{11}=1$.
Я тоже подумал,что это выбор сделан так,чтобы еще и $g_{TR}=0$.(что бы СК была полностью синхронной)
Но почему все-таки не указали функцию распределения запуска?Сразу привели метрику через $r_1$ и $T$,пояснив что это такое.А откуда взяли,без распределения?

[Munin]

Erleker в сообщении #1063947 писал(а):

Но почему все-таки не указали функцию распределения запуска?

Достаточно подставить в формулу обратного преобразования $t(R,T)$ значение $T=0.$

[Erleker]

Время падения частицы от $r_1$ к $r$:
$\int\limits_{r_1}^{r}dr/({(1-r_g/r)\sqrt{rg/r}})$
(Из выражения $dr/dt$ через энергию при $E/mc^2=1$)
Соответственно должно быть:
$r_g/c(2\sqrt{r/r_g}+\ln[(1+\sqrt{r/r_g})/(1-\sqrt{r/r_g})]-2\sqrt{r_1/r_g}-\ln[(1+\sqrt{r_1/r_g})/(1-\sqrt{r_1/r_g})])$
Вычитая это из $t$:
$t_0=r_g/c(-2/3(r/r_g)^(3/2)-4\sqrt{r/r_g}+(2/3r_g(r_1/rg)^{3/2})/r_g+2\sqrt{r1/r_g}+\ln[(1+\sqrt{r_1/r_g})/(1-\sqrt{r_1/r_g})])$
(Если нигде не ошибся)
Но все-таки почему там не была приведена эта функция,из которой дальше и строили бы метрику подстановкой
$r=f(r_1,T)$(из выражения для собственного времени) и
$t=t_0(r_1)+r_g/c(2\sqrt{r/r_g}+\ln[(1+\sqrt{r/r_g})/(1-\sqrt{r/r_g})]-2\sqrt{r_1/r_g}-\ln[(1+\sqrt{r_1/r_g})/(1-\sqrt{r_1/r_g})])$
в метрику Шварцшильда.
Откуда сразу взята метрику через $r_1$,$T$ после слов:

Цитата:

тогда квадрат интервала в системе свободно падающих частиц запишется в виде

Они просто так написали,не поясняя,или же вывели ее как-то по-другому,изначально полагая ее синхронной,получив преобразования только потом?

[Munin]

Насколько я помню, Н-Ф такие простые вещи не выводят, а просто цитируют из литературы.

[Erleker]

Может быть он как-то устно вывели через $r$,а потом подставили?:
$r=r_g[(r1/r_g)^{3/2}-(3cT)/(2r_g)]^{2/3}$ (из собственного времени)
То есть получили:
$ds^2=-c^2dT^2+(r1/r)dr_1+r^2(do^2+sin^2oda^2)$
Величина $g_{00}$ и последнего слагаемого в данном случае и так очевидна.
А можно ли из каких-то соображений сразу получить $g_{11}=(r_1/r)$,при условии,что нам известно только выражение для собственного времени и условия,что нам хочется синхронную СК($g_{TR}=0$)?(не подбирая,при этом разброс старта частиц,а получить его потом).

[Munin]

Вот таких деталей не знаю. Может, кто ещё подключится.