Поясните операции с пределами, пожалуйста

[shtoplizc]

...Так как для последовательностей $ x_{n}={1}^{2}+{2}^{2}+...+{n}^{2}$ и $y_{n}=(n+1)^{3}$:$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{x_{n+1}-x_{n}}{y_{n+1}-y_{n}}=$\lim\limits_{n\to\infty}{\frac{{n}^{2}}{(n+1)^{3}-{n}^{3}}}$. Объясните, кто разбирается, как получились знаменатель и числитель в правой части равенства.
И еще, ${\frac{\Delta{y}}{\Delta{x}}}$=$\frac{a^x\cdot{(a^{\Delta{x}}-1})}{\Delta{x}}$;$\lim\limits_{\Delta{x}\to{0}}{\frac{\Delta{y}}{\Delta{x}}=a^x\cdot{\lim\limits_{\Delta{x}\to{0}}{\frac{a^x\cdot{(a^{\Delta{x}}-1})}{\Delta{x}}}$. Как так, что $a^x$ вывели за лим ? Если не ошибаюсь, так поступают с постоянной.

Lia: название темы изменено на более информативное без согласования с автором.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[provincialka]

shtoplizc в сообщении #1061659 писал(а):

как получились знаменатель и числитель в правой части равенства.

Последнее выражение соответствует предпоследнему, только номер члена последовательности другой. Но при вычислении предела это не важно.

shtoplizc в сообщении #1061659 писал(а):

Как так, что $a^x$ вывели за лим ? Если не ошибаюсь, так поступают с постоянной.

Это и есть постоянная. Переменной является $\Delta x$.