Пусть задана конечномерная алгебра Ли размерности
![$n$ $n$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/5/a/55a049b8f161ae7cfeb0197d75aff96782.png)
.
Допустим я хочу узнать есть ли в ней абелева подалгебра размерности
![$k$ $k$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/3/b/63bb9849783d01d91403bc9a5fea12a282.png)
.
Могу представить топорный алгоритм, типа метода неопределенных коэффициентов.
Представим
![$k$ $k$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/3/b/63bb9849783d01d91403bc9a5fea12a282.png)
векторов, на которые будет натянута абелева подалгебра, разложенными по базису исходной алгебры Ли
![$$X_i = C^{i}_{1} e_1 + C^{i}_{2} e_2 + ... + C^{i}_{n} e_n.$$ $$X_i = C^{i}_{1} e_1 + C^{i}_{2} e_2 + ... + C^{i}_{n} e_n.$$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/d/2/8d2458849a7ec13a356e981c79d2e2a082.png)
Эти
![$k$ $k$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/3/b/63bb9849783d01d91403bc9a5fea12a282.png)
векторов должны удовлетворять коммутационным соотношением
![$$[X_i,X_j] = 0.$$ $$[X_i,X_j] = 0.$$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/2/7/e27b0a3254e037566faa870776965feb82.png)
Этих соотношений ровно
![$k (k-1) / 2$ $k (k-1) / 2$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/b/8/bb8eb6a60ee940dcf8adbee347fa51fe82.png)
. Используя структурные константы алгебры Ли, это приводит к системе
![$n k (k-1) / 2$ $n k (k-1) / 2$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/f/f/0ff8f4f71a6ded4ce6f4f6b4ce4e5ec282.png)
квадратично-нелинейных уравнений для
![$n k$ $n k$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/d/4/ad4c5c8d860634ad5b8e6a5c8f78eecd82.png)
неизвестных.
Существование абелевой подалгебры размерности
![$k$ $k$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/3/b/63bb9849783d01d91403bc9a5fea12a282.png)
эквивалентно совместности этой системы уравнений с добавленным неравенством (который означает, что вектора линейно независимы). Это может проверено алгоритмически базисом Гребнера (чтобы учесть неравенство надо еще добавить одну переменную и полином в систему), но это очень-очень будет медленно
Есть идеи - как это можно красиво алгебраически сделать?
![Smile :-)](./images/smilies/icon_smile.gif)