Максимальная размерность абелевой подалгебры алгебры Ли

[DLL]

Пусть задана конечномерная алгебра Ли размерности $n$.
Допустим я хочу узнать есть ли в ней абелева подалгебра размерности $k$.
Могу представить топорный алгоритм, типа метода неопределенных коэффициентов.
Представим $k$ векторов, на которые будет натянута абелева подалгебра, разложенными по базису исходной алгебры Ли

$$X_i = C^{i}_{1} e_1 + C^{i}_{2} e_2 + ... + C^{i}_{n} e_n.$$

Эти $k$ векторов должны удовлетворять коммутационным соотношением

$$[X_i,X_j] = 0.$$

Этих соотношений ровно $k (k-1) / 2$. Используя структурные константы алгебры Ли, это приводит к системе $n k (k-1) / 2$ квадратично-нелинейных уравнений для $n k$ неизвестных.
Существование абелевой подалгебры размерности $k$ эквивалентно совместности этой системы уравнений с добавленным неравенством (который означает, что вектора линейно независимы). Это может проверено алгоритмически базисом Гребнера (чтобы учесть неравенство надо еще добавить одну переменную и полином в систему), но это очень-очень будет медленно

Есть идеи - как это можно красиво алгебраически сделать?

[Munin]

Может, рассуждать в терминах антисимметрической билинейной формы? Они довольно просто устроены как в действительном, так и в комплексном случае. Правда, это только для конечномерного случая.

[DLL]

Так это и есть конечномерный случай

[Munin]

Я понял, но на всякий случай уточняю.

[DLL]

Вот например есть такая штука - декомпозиция Леви.
Она разбивает алгебру Ли в прямую полусумму радикала (который определен однозначно) и полупростой алгебры Ли. Может это как-нибудь помочь?
Например, если бы оказалось, что максимальная абелева подалгебра лежит целиком в одном из этих двух множеств. Но так ли это?