Задача по теории чисел!

[Leader171]

Найти все натуральные n, для которых число
$|9n^{17}+63n^{16}-44n^{15}-676n^{14}-547n^{13}-99n^{12}-281n^{11}-135n^{10}+2061n^9+1605n^8+196n^7+277n^6+799n^5-99n^4+108n^3+60n^2-3n+6|/2$ составное.

вставил $$. Leader171, ужели было так трудно? // нг

[Профессор Снэйп]

Расскажите, откуда такой многочлен взялся. Интересно.

[maxal]

Это полином раскладывается в произведение неприводимых так:

$$\frac{1}{2}\left|(9 n^3 + n + 1) (n^4 - 11 n^2 + n - 1) (n^5 - 3) (n^5 + 7 n^4 + 6 n^3 - n + 2)\right|.$$

Поэтому ответом являются все натуральные числа.

[e2e4]

maxal писал(а):

Это полином раскладывается в произведение неприводимых так:

$$\frac{1}{2}\left|(9 n^3 + n + 1) (n^4 - 11 n^2 + n - 1) (n^5 - 3) (n^5 + 7 n^4 + 6 n^3 - n + 2)\right|.$$

Поэтому ответом являются все натуральные числа.

Это не так. Очевидный контрпример: $n = 0$.
Очевидно также, что если $\left|(9 n^3 + n + 1) (n^4 - 11 n^2 + n - 1) (n^5 - 3) (n^5 + 7 n^4 + 6 n^3 - n + 2)\right| \equiv 1 \mod 2$ (нечетно), то в результате получим дробное число, которое также нельзя причислить к составным.
Далее, необходимо исключить все $n$, являющиеся корнями уравнения $(9 n^3 + n + 1) (n^4 - 11 n^2 + n - 1) (n^5 - 3) (n^5 + 7 n^4 + 6 n^3 - n + 2) = 0$.
Возможно, имеются еще такие $n$, которые обращают две из четырех скобок в $1$, одну в $2$, оставшуюся - в простое число.

[Brukvalub]

Если n нечетно, то второй множитель указанного maxalом разложения является четным, если n четно , то последний множитель указанного maxalом разложения является четным, а 0 не считается в теории чисел натуральным числом, так что все верно.

[maxal]

e2e4 писал(а):

Далее, необходимо исключить все $n$, являющиеся корнями уравнения $(9 n^3 + n + 1) (n^4 - 11 n^2 + n - 1) (n^5 - 3) (n^5 + 7 n^4 + 6 n^3 - n + 2) = 0$.
Возможно, имеются еще такие $n$, которые обращают две из четырех скобок в $1$, одну в $2$, оставшуюся - в простое число.

Такое невозможно хотя бы потому, что при натуральных $n>1$ первая скобка не меньше $75$, а третья не меньше $29$.

[e2e4]

Да, по всей видимости, нет таких натуральных $n$ (если не считать 0 натуральным), для которых число указанного вида было бы не составным.

[Leader171]

Правильно:). Это больше задача-шутка. А как вообще догадаться до разложения?

[Brukvalub]

Leader171 писал(а):

А как вообще догадаться до разложения?

Думаю,что проще всего просто последовательно перебирать все многочлены фиксированной степени с целыми коэффициентами, причем модули коэффициентов стоит брать не слишком большими и пробовать делить без остатка предложенный многочлен на каждый из них, после чего переходить к перебору многочленов на 1 большей степени, и делать так до полного разложения. Это самый простой алгоритм. Думаю, maxal так и делал.

[RIP]

Думаю, что maxal просто воспользовался компутером.

[maxal]

Что-то какая-то громоздкая "шутка", к тому же безынтересная в идейном плане. А компьютером для разложения полиномов в XXI веке грех не воспользоваться. В любом приличном мат.пакете это осуществляется в одну строчку. Конечно, можно и руками, но зачем?

[Батороев]

maxal писал(а):

Это полином раскладывается в произведение неприводимых так:

$$\frac{1}{2}\left|(9 n^3 + n + 1) (n^4 - 11 n^2 + n - 1) (n^5 - 3) (n^5 + 7 n^4 + 6 n^3 - n + 2)\right|.$$

Поэтому ответом являются все натуральные числа.

Еще одним аргументом того, что число составное, могут служить следующие соображения:
1. Если число $n\equiv 0 (mod 3) $, то на 3 делится скобка $(n^5 - 3)$.
2. Если число $n\equiv 1(mod 3) $, то на 3 делится скобка $ (n^5 + 7 n^4 + 6 n^3 - n + 2) $, т.к. по признаку делимости на $(n-1)$ получаем $ (1+7+6-1+2)\equiv 0(mod 3)$.
3. Если число $n\equiv 2(mod 3) $, то на 3 делится опять же скобка $ (n^5 + 7 n^4 + 6 n^3 -n + 2) $, т.к. по признаку делимости на $(n+1)$ получаем $ (2-(-1)+0-6+7-1)\equiv 0 (mod 3) $.

Эти соображения, по-видимому, верны и для начального задания (без разложения), но описывать замучился бы.

[незваный гость]

Батороев писал(а):

Еще одним аргументом того

$3\, |\, p(n)$ для $n = 0,1,-1$, значит $3 \,|\, p(n)$ для всех $n$. Осталось проверить, что $p(n) \not = 3$ для натурального $n$. Но натуральные корни $p(n)-3$ должны делить 3. Кандидаты (1 и 3) легко проверяются.