2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 уравнение в натуральных числах
Сообщение10.10.2015, 18:25 


19/11/14
10
Решите уравнение в натуральных числах: $x^3+x=y^2$.С левой части всё понятно,а что сделать с правой?Помогите

 Профиль  
                  
 
 Re: уравнение в натуральных числах
Сообщение10.10.2015, 19:07 
Заслуженный участник


16/02/13
4214
Владивосток
А что если попробовать разложить левую часть на взаимно простые множители?

 Профиль  
                  
 
 Re: уравнение в натуральных числах
Сообщение10.10.2015, 19:09 


26/08/11
2110
С правой ничего не делайте, так оставьте

 Профиль  
                  
 
 Re: уравнение в натуральных числах
Сообщение11.10.2015, 08:42 
Заслуженный участник


08/04/08
8562
Лемма: если $ab=c^n$ и $a,b$ взаимно просты, то $a=u^n,b=v^n$

 Профиль  
                  
 
 Re: уравнение в натуральных числах
Сообщение11.10.2015, 18:34 
Заслуженный участник


17/09/10
2146
Замечание о рациональных решениях.
Еще одна полезная лемма. Пусть эллиптическая кривая задана уравнением $y^2=x^3+ax+b$, коэффициенты которого $a,b$ - целые числа. И пусть $P=(x,y)$ точка с рациональными координатами на этой кривой.
Тогда $x,y$ имеют вид $x=\dfrac{m}{d^2},y=\dfrac{n}{d^3}$, где $m,n,d$ - целые числа, $d>0$ и $\gcd(m,d)=\gcd(n,d)=1$.
Применяя данную лемму и лемму приведенную Sonic86 к исходному уравнению $(a=1,b=0)$ в предположении, что на кривой есть рациональная точка, отличная от $(0,0)$, получаем: $N^2=u^4+d^4$, где $m=u^2$ --- противоречие.
Таким образом, кроме $(0,0)$ исходное уравнение не имеет рациональных решений.

 Профиль  
                  
 
 Re: уравнение в натуральных числах
Сообщение15.10.2015, 11:41 


05/10/10
71
А если такое $x^3+3x=y^2$

 Профиль  
                  
 
 Re: уравнение в натуральных числах
Сообщение15.10.2015, 22:44 
Заслуженный участник


17/09/10
2146
Целые решения здесь: $(0,0)$ точка кручения, $(1,\pm{2}),(3,\pm{6}),(12,\pm{42})$ - точки бесконечного порядка.
Рациональных решений бесконечно много.
Например, $(2209/784,121871/21952)$, $(48626028/51825601,711890931906/373092501599)$ и т.д.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group