уравнение в натуральных числах

[RLVV]

Решите уравнение в натуральных числах: $x^3+x=y^2$.С левой части всё понятно,а что сделать с правой?Помогите

[iifat]

А что если попробовать разложить левую часть на взаимно простые множители?

[Shadow]

С правой ничего не делайте, так оставьте

[Sonic86]

Лемма: если $ab=c^n$ и $a,b$ взаимно просты, то $a=u^n,b=v^n$

[scwec]

Замечание о рациональных решениях.
Еще одна полезная лемма. Пусть эллиптическая кривая задана уравнением $y^2=x^3+ax+b$, коэффициенты которого $a,b$ - целые числа. И пусть $P=(x,y)$ точка с рациональными координатами на этой кривой.
Тогда $x,y$ имеют вид $x=\dfrac{m}{d^2},y=\dfrac{n}{d^3}$, где $m,n,d$ - целые числа, $d>0$ и $\gcd(m,d)=\gcd(n,d)=1$.
Применяя данную лемму и лемму приведенную Sonic86 к исходному уравнению $(a=1,b=0)$ в предположении, что на кривой есть рациональная точка, отличная от $(0,0)$, получаем: $N^2=u^4+d^4$, где $m=u^2$ --- противоречие.
Таким образом, кроме $(0,0)$ исходное уравнение не имеет рациональных решений.

[Naf2000]

А если такое $x^3+3x=y^2$

[scwec]

Целые решения здесь: $(0,0)$ точка кручения, $(1,\pm{2}),(3,\pm{6}),(12,\pm{42})$ - точки бесконечного порядка.
Рациональных решений бесконечно много.
Например, $(2209/784,121871/21952)$, $(48626028/51825601,711890931906/373092501599)$ и т.д.