Вопросы про числа

[student1138]

Добрый вечер.

Давно уже у меня вызывают любопытство следующие вопросы. Возможно, вопросы несколько дурацкие, но тем не менее:

1) Почему некоторые объекты называются "числами", тогда как другие объекты - нет. Другими словами, каким признаком должен обладать объект, чтобы его назвали "числом". Что общего у всех чисел? Например, почему пару $(a, b)$ и четверку $(a, b, c, d)$ называют числами (комплексные и кватернионы), тогда как тройку $(a, b, c)$ к числам не относят?

2) Классы чисел существуют объективно и независимо и могут быть только "открыты" или можно сконструировать какой-то новый произвольный объект который будет являться "числом". Подчеркну, я тут говорю не о модели уже существующих чисел (как например матрицы 2x2 как модель комплексных чисел) а о совсем новом классе чисел.

3) Все ли возможные классы чисел открыты на сегодняшний день или могут быть открыты новые? Множество известных на сегодня классов чисел - оно конечно/бесконечно/счетно/непрерывно? Можно ли доказать например что это множество бесконечно (или или наоборот конечно)?

[arseniiv]

student1138 в сообщении #1062646 писал(а):

Другими словами, каким признаком должен обладать объект, чтобы его назвали "числом". Что общего у всех чисел?

Общего практически ничего. Можно, конечно, попытаться увидеть коммутативность сложения, но ординалы, относимые иногда к числам, этим свойством не обладают: например, $1+\omega = \omega \ne \omega+1$. Можно попытаться сказать, что числами называли штуки, более похожие на имевшиеся к тому времени штуки, называемые числами, чем на другие алгебры, но как раз к тому времени, как выделили понятие алгебраической системы, так делать уже перестали. Скорее всего, я здесь чего-то не учёл, но то, что эта линейка терминов — продукт лишь истории, но не каких-то особых связей между ними всеми, факт. Да, многие числовые системы друг в друга вкладываются, но это нельзя превратить в определение, как и остальные их связи.

student1138 в сообщении #1062646 писал(а):

Например, почему пару (a, b) и четверку (a, b, c d) называют числами (комплексные и кватернионы), тогда как тройку (a, b, c) к числам не относят?

Это уже неточно. На парах чисел, как и на тройках, и на вообще $n$-ках или, скажем, последовательностях («$\omega$-ках») можно ввести самые разные операции. На тройках, правда, не получается ничего столь же интересного как комплексные или кватернионы, и даже никакой алгебры Клиффорда, скажем (многие интересные алгебры, включая две последние, изоморфны некоторым алгебрам Клиффорда) — у них размерность может быть только степенью двойки. (Кстати, кватернионы как раз уже не совсем «числа» — вы замечали, чтобы кто-то говорил «кватернионные числа»? Хотя, опять же, всё равно это не более чем историзм.)

После этого ответ на ваш вопрос №2 практически автоматичен: нет, новые объекты называть числами уже (почти — если я что-то не учёл) не принято, в этом всё равно нет особого смысла. Ответ на вопрос №3 тоже — точнее, ответ о некорректности вопроса, т. к. никакого определённого класса «чисел» не существует.

[Deggial]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
Причина переноса: формулы не оформлены $\TeX$ом

student1138
Наберите все формулы и термы $\TeX$ом.
Инструкции по оформлению формул здесь или здесь (или в этом видеоролике).
См. также тему Что такое карантин, и что нужно делать, чтобы там оказаться.
После исправлений сообщите в теме Сообщение в карантине исправлено, и тогда тема будет возвращена.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[grizzly]

По п.3, может, имелось в виду что-то типа теоремы Островского, которая говорит, что с точностью до эквивалентности метрик, других пополнений, кроме поля действительных чисел $R$ и полей $p$-адических чисел $Q_p$, поле рациональных чисел не имеет. (Обычно ведь, когда кто-то узнаёт про $p$-адические числа, сразу возникает соблазн придумать ещё тысячу хитрых и полезных обобщений :)

[Anton_Peplov]

Если суммировать вышесказанное:
1. То, что одни объекты называются числами, а другие нет - продукт истории. Изначально были известны натуральные числа, потом открыли положительные рациональные, потом нуль, потом алгебраические иррациональные, потом отрицательные числа, потом мнимую единицу, потом трансцендентные. Как-то так, хотя, быть может, где-то я ошибся в хронологическом порядке. При этом свойства чисел, связывающие четыре арифметические действия между собой и с отношением сравнения (далее "основные свойства"), бездумно переносились с натуральных чисел, потому что еще не было современного понятия об абстрактных операциях, которые можно определять как угодно. Вообще не было понятия о том, что теория может исходить из любых аксиом, и все непротиворечивые теории равноправны. Было представление, что существует некое "на самом деле", которому должны отвечать определения. Скажем, никому долго не приходила в голову геометрия Лобачевского, потому что все были убеждены, что "на самом деле" постулаты Евклида выполняются, поэтому они правильны, а все остальные неправильны. Правда, наверное, над вопросом, чему равно произведение двух отрицательных чисел, все же пришлось задуматься.

2. Однако открытие комплексных чисел, для которых не определено отношение сравнения, слегка двинуло мысли математиков в сторону "обобщай, обобщай, да не заобобщайся". Когда были построены кватернионы, оказалось, что у них и умножение-то некоммутативно. А позже была доказана теорема (не знаю, о ней ли говорил grizzly), что поле действительных чисел нельзя расширить до неизоморфного ему по основным свойствам, не потеряв при этом какого-нибудь из основных свойств. Например, в комплексных числах теряется сравнение, в кватернионах - коммутативность умножения, где-то там выше - кажется, даже его ассоциативность. Если идти в другую сторону - в сторону гипердействительных чисел - придется отказаться от аксиомы Архимеда. Ну и так далее, так что математики поразвлекались еще немного и (почти) перестали называть новые объекты числами.

Как-то так.

[grizzly]

Anton_Peplov в сообщении #1062835 писал(а):

А позже была доказана теорема (не знаю, о ней ли говорил grizzly), что поле действительных чисел нельзя расширить до неизоморфного ему по основным свойствам, не потеряв при этом какого-нибудь из основных свойств.

Занудства ради
Нет, я говорил о расширении поля рациональных чисел. Это другая теорема и там, я полагаю, идея немного другая.

[Mihaylo]

Ну чисто философское рассуждение: "число" - от слова "перечислять". Хорошо, когда порядок строгий - все прекрасно перечисляется, но потом, когда уже появляются частичные порядки, все меньше и меньше несет смысла некое перечисление.

[arseniiv]

Mihaylo в сообщении #1062899 писал(а):

Ну чисто философское рассуждение: "число" - от слова "перечислять".

Nonono, это т. н. народная этимология, не работает. Первые числа имели отношение к перечислению — конечно — но это первые. Комплексные или рациональные числа ни к какому перечислению не относимы.

[Mihaylo]

А я о чем?

[arseniiv]

Вы написали не то же. Во-первых, этимология слова число и, во-вторых, ассоциации, навеваемые им в синхронии (это то, что у вас, и это не обязательно как-нибудь связано с этимологией в общем случае) (и оба случая как относительно русского языка, так и какого-нибудь другого*) не обязаны как-то объяснять смысл математических терминов, содержащих слово «число».

* Притом в другом языке может оказаться и другой набор аналогичных терминов, содержащих одно и то же слово (и оно, в принципе, даже не обязано переводиться на русский наилучшим образом как именно число). Про вариативность терминов уже упоминалось: ординал / порядковое число, и у разных людей в разное время склонность использовать разные варианты различна. Всё это кидает по $n$ камней в огород полезности [народной] этимологии в рассмотрении вопроса о смысле математических терминов. Обычно it goes without saying.