Исследовать сходимость, используя определение

[ExtreMaLLlka]

Дан ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{3}{(n+2)(n+3)}$

смотрим определение: Числовой ряд называется сходящимся, если существует конечный предел последовательности частичных сумм . Если предел последовательности частичных сумм числового ряда не существует или бесконечен, то ряд называется расходящимся.

где взять последовательность частичных сумм?

[Утундрий]

Разложите дробь на простейшие.

[ExtreMaLLlka]

Разложила $\frac{3}{(n+2)(n+3)}=\frac{3}{(n+2)}-\frac{3}{(n+3)}$.

а дальше?

[Утундрий]

Дальше нужно догадаться, что...

[Brukvalub]

ExtreMaLLlka в сообщении #1062424 писал(а):

где взять последовательность частичных сумм?

Подсчитать "руками".

[ExtreMaLLlka]

аа, вижу. сумма равна 1)

[Brukvalub]

Да.

[ExtreMaLLlka]

а подскажите еще пожалуйста, по какому признаку мне исследовать ряд $(\frac{3n-1}{3n-4})^{n^2}$.
Я пробовала по Коши :$\lim\limits_{n \to \infty}^{}((\frac{3n-1}{3n-4})^{n^2})^{\frac{1}{n}} = \lim\limits_{n \to \infty}^{} 1^n =1 $
получается 1. вопрос не решился(

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- отсутствуют собственные содержательные попытки решения задач(и).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Deggial]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Возвращено.

[iifat]

ExtreMaLLlka в сообщении #1062444 писал(а):

получается 1

Получается один из замечательных пределов, вообще-то. $1^\infty$ — неопределённость, примерно такая же как $\frac00$. Прологарифмируйте и увидьте.
Заменять кусок выражения пределом при вычислении предела — не то чтоб совсем нельзя, но очень осторожно.

[gefest_md]

ExtreMaLLlka в сообщении #1062444 писал(а):

а подскажите еще пожалуйста, по какому признаку мне исследовать ряд $(\frac{3n-1}{3n-4})^{n^2}$.

Мне кажется, что не выполнено одно условие, необходимое для сходимости.

[ExtreMaLLlka]

gefest_md в сообщении #1062528 писал(а):

ExtreMaLLlka в сообщении #1062444 писал(а):

а подскажите еще пожалуйста, по какому признаку мне исследовать ряд $(\frac{3n-1}{3n-4})^{n^2}$.

Мне кажется, что не выполнено одно условие, необходимое для сходимости.

Вы про необходимы признак сходимости?

-- 14.10.2015, 16:27 --

не догадалась его проверить)

[gefest_md]

ExtreMaLLlka в сообщении #1062444 писал(а):

Я пробовала по Коши

Наверное можно и по Коши. Тот предел кажется равен $e>1$. Но необходимое условие сходимости проще, я бы его использовал для ответа.

[ExtreMaLLlka]

и еще один совет требуется) $\frac{(n+1)!}{n^{2n}}$.
применяем Даламбера, в результате преобразований пришла к пределу:
$\lim\limits_{n\to\infty}^{}\frac{(n+2)n^{2n}}{(n+1)^{2n}(n+1)^2} $

а дальше с ним как?
$\lim\limits_{n\to\infty}^{}\frac{n^{2n}}{(n+1)^{2n}} = 1$?