Вопросы по теории вероятностей и мат. статистике

[Anna from Svetl]

Нужно достаточно быстро разобраться в теории вероятностей и мат. статистике для использования в прикладных целях. Для изучения выбраны учебники Боровков "Теория вероятностей" и "Математическая статистика". И в первом же параграфе первого учебника возник вопрос. Суть его вот в чем: в конце параграфа приводятся свойства дискретной функции распределения вероятностей; одно из этих свойств гласит, что вероятность суммы счетного числа непересекающихся событий равна сумме вероятностей соответствующих событий:

$$ P\left(\bigcup_{k=1}^{\infty}{A_k}\right) = \sum_{k=1}^{\infty}{P\left(A_k\right)}. $$

Сама функция распределения вероятности на множестве $\Omega$ элементарных событий $\omega$ определяется как неотрицательная числовая функция $P(\omega)$, для которой выполняется условие

$$ \sum_{\omega\in\Omega}{P(\omega)} = 1. $$

Соответственно, вероятность события $A$ определяется как

$$ P(A) = \sum_{\omega\in A}{P(\omega)}. $$

Для случая конечного числа суммируемых событий доказательство тривиально. Не совсем понятно, как обобщить его на счетное число событий. В учебнике сказано использовать только абсолютную сходимость рядов $\sum\limits_{\omega\in A}{P(\omega)}$, а также свойство

$$ P\left(\bigcup_{k=n+1}^{\infty}{A_k}\right) \rightarrow 0\quad \text{при}\quad n\rightarrow\infty. $$

Непонятен следующий момент: во-первых, почему верно указанное выше свойство, а во-вторых, как совершается переход

$$ P\left(\bigcup_{k=1}^{\infty}{A_k}\right) = P\left(\bigcup_{k=1}^{n}{A_k}\right) + P\left(\bigcup_{k=n+1}^{\infty}{A_k}\right), $$

после которого, очевидно, $n$ устремляют к $\infty$. Ведь второе слагаемое --- это вероятность суммы бесконечного числа событий, а аддитивность для таких вероятностей как раз и доказывается.

P.S. Можно ли задавать другие вопросы, возникающие по ходу чтения в этой теме, а не создавать новую?

[ewert]

Anna from Svetl в сообщении #1061704 писал(а):

Сама функция распределения вероятности на множестве $\Omega$ элементарных событий $\omega$ определяется как неотрицательная числовая функция $P(\omega)$

Не верю, что Боровков так говорил. Это не называется функцией распределения -- этот термин уже занят (точнее, будет занят позже).

Anna from Svetl в сообщении #1061704 писал(а):

доказательство тривиально. Не совсем понятно, как обобщить его на счетное число событий.

Никак. Это не теорема, это аксиома.

[Anna from Svetl]

ewert в сообщении #1061709 писал(а):

Не верю, что Боровков так говорил. Это не называется функцией распределения -- этот термин уже занят (точнее, будет занят позже).

Прямо он так не говорит, но он говорит

Цитата:

функция $P$ задает на $\Omega$ распределение вероятностей.

Неужели ее нельзя также называть функцией распределения, как и то, подо что этот термин зарезервирован?

ewert в сообщении #1061709 писал(а):

Никак. Это не теорема, это аксиома.

Тогда почему в учебнике сказано, что "нетрудно получить следующие свойства вероятности"? И про то свойство, которое меня интересует сказано, что

Цитата:

Это следует из равенства

$$ P\left(\bigcup_{k=1}^{n}{A}_k\right) = \sum_{k=1}^{n}{P(A_k)} $$

и того, что $P\left(\bigcup_{k=n+1}^{\infty}{A_k}\right)\rightarrow 0$ при $n\rightarrow \infty$.

Для суммы двух пересекающихся событий тоже приведено доказательство

$$ P(A\cup B) = \sum_{\omega\in A\cup B}{P(\omega)} = \sum_{\omega\in A}{P(\omega)} + \sum_{\omega\in B}{P(\omega)} - \sum_{\omega\in A\cap B}{P(\omega)}. $$

[ewert]

Anna from Svetl в сообщении #1061713 писал(а):

Неужели ее нельзя также называть функцией распределения,

Нельзя. Зато можно (и нужно) называть её вероятностной мерой. Боровков этого пока не делает, видимо, потому, что не хочет преждевременно грузить терминологией и прочими формальностями.

Anna from Svetl в сообщении #1061713 писал(а):

Для суммы двух пересекающихся событий тоже приведено доказательство

$$ P(A\cup B) = \sum_{\omega\in A\cup B}{P(\omega)} = \sum_{\omega\in A}{P(\omega)} + \sum_{\omega\in B}{P(\omega)} - \sum_{\omega\in A\cap B}{P(\omega)}. $$

Вот как раз этого он, кажется, даже не пытается доказать. И воткнул он этот факт в неудачное место: надо было сначала зафиксировать для суммы непересекающихся событий (ибо именно это станет аксиомой потом, в более общем случае), после чего получить общий результат для объединения как следствие.

Anna from Svetl в сообщении #1061713 писал(а):

И про то свойство, которое меня интересует сказано, что

Цитата:

и того, что $P\left(\bigcup_{k=n+1}^{\infty}{A_k}\right)\rightarrow 0$ при $n\rightarrow \infty$.

Тоже весьма неудачно сказано: это, конечно, верно, но отнюдь не тривиально, а никаких обоснований этому он не приводит. Уж лучше бы сказал "очевидно" и всё тут -- это ведь и впрямь достаточно очевидно.

Вообще рекомендую не заморачиваться формальными тонкостями и обращать внимание лишь на содержательные выкладки. Раз уж Вам это нужно для прикладных целей.

[ShMaxG]

Anna from Svetl в сообщении #1061704 писал(а):

Нужно достаточно быстро разобраться в теории вероятностей и мат. статистике для использования в прикладных целях. Для изучения выбраны учебники Боровков "Теория вероятностей" и "Математическая статистика".

Очень странный выбор для человека, который хочет достаточно быстро разобраться в ТВиМС. Эти книжки, на мой взгляд, подходят скорее тем, кто уже давно теорию вероятностей применяет и хочет только углубить свои знания. Я уж не знаю, каковы Ваши прикладные цели, но может начать с чего-то более простого? Розанова, например, или Гнеденко?

[Brukvalub]

Еще для целей "быстро продвинуться для приложений ТВ и матстата" хороши книги Е.С. Вентцель, Гмурмана и Кремера.

[Korvin]

Brukvalub в сообщении #1061736 писал(а):

Еще для целей "быстро продвинуться для приложений ТВ и матстата" хороши книги Е.С. Вентцель, Гмурмана и Кремера.

Решил что опечатка в фамилии, ан нет, есть и Кремер. А в голову первым делом пришло "Крамер Гаральд, Математические методы статистики". И в Ван дер Вардене мне отдельные моменты нравятся.

[provincialka]

Korvin
Ну уж... рекомендовать Крамера как прикладную книжку не стоит!

[Korvin]

provincialka в сообщении #1061753 писал(а):

Korvin
Ну уж... рекомендовать Крамера как прикладную книжку не стоит!

Сорри. Но вдруг отдельные моменты прояснит.

[Brukvalub]

(Оффтоп)

Korvin в сообщении #1061752 писал(а):

Решил что опечатка в фамилии, ан нет, есть и Кремер. А в голову первым делом пришло "Крамер Гаральд, Математические методы статистики". И в Ван дер Вардене мне отдельные моменты нравятся.

Криминальный боевик: "Крамер против Кремера", уже на естественно-научных форумах вашего города!

[Otta]

Anna from Svetl в сообщении #1061704 писал(а):

Сама функция распределения вероятности на множестве $\Omega$ элементарных событий $\omega$ определяется как неотрицательная числовая функция $P(\omega)$, для которой выполняется условие

$$ \sum_{\omega\in\Omega}{P(\omega)} = 1. $$

Это тот случай, когда перестановка слов в предложении не проходит безнаказанной. Термин "функция распределения", как уже отметили, занят. В оригинале так:

что не то же.

Anna from Svetl в сообщении #1061704 писал(а):

В учебнике сказано использовать только абсолютную сходимость рядов $\sum\limits_{\omega\in A}{P(\omega)}$, а также свойство

$$ P\left(\bigcup_{k=n+1}^{\infty}{A_k}\right) \rightarrow 0\quad \text{при}\quad n\rightarrow\infty. $$

Непонятен следующий момент: во-первых, почему верно указанное выше свойство, а во-вторых, как совершается переход

$$ P\left(\bigcup_{k=1}^{\infty}{A_k}\right) = P\left(\bigcup_{k=1}^{n}{A_k}\right) + P\left(\bigcup_{k=n+1}^{\infty}{A_k}\right), $$

"Во-первых" выполняется в силу того, что последовательность частичных сумм ряда $\sum_{k=1}^\infty P(A_k)$ сходится, что следует из ее ограниченности (которая легко доказывается, см. также текст учебника там же). Разбиваем счетное объединение на два события - соответствующее частичной сумме и остатку ряда. Тогда вероятность второго события $P\left(\bigcup_{k=n+1}^{\infty}{A_k}\right)$, соответствующего остатку, очевидно, стремится к нулю.

Но для быстрого и прикладного ознакомления действительно лучше читать сперва то, что посоветовали выше.

[Anna from Svetl]

ewert, а мне кажется, что, наоборот, стремление к нулю у этой вероятности неочевидно, а вот с вероятностью суммы, подскажите, что я упускаю в рассуждениях: если по определению вероятность события складывается из вероятностей элементарных событий, его составляющих, то вероятность суммы событий должна складываться из вероятностей элементарных событий, составляющих эту сумму. Если события $A$ и $B$ пересекаются, то для элементарных событий, принадлежащих одновременно $A$ и $B$, вероятности войдут в сумму дважды, поэтому логично вычесть один раз сумму вероятностей для таких элементарных событий, чтобы для каждого элементарного события из суммы $A$ и $B$ в вероятность входила в сумму один раз.
Не заморачиваться формальными тонкостями я не могу. Для меня принципиально понимать, почему допустимы и верны все действия, которые я выполняю.

ShMaxG, Brukvalub, возможно, я немного неправильно выразилась. Основы теории вероятностей у меня были, но очень ограниченные, а я хочу разобраться как следует, потому что вопрос давно назревал, и созрел окончательно, плюс появилось время на это.

provincialka, я, кстати, пробовала начать с Крамера, но не пошло. Видимо, к нему лучше будет потом вернуться.

Otta, спасибо. Только я все же не понимаю, почему вероятность остатка ряда должна стремиться к нулю. (Потому что последовательность частичных сумм должна сходится к вероятности этого события, состоящего из объединения счетного множества событий?)

[Otta]

Anna from Svetl в сообщении #1061804 писал(а):

Только я все же не понимаю, почему вероятность остатка ряда должна стремиться к нулю.

Я написала. Потому что ряд сходится.

Anna from Svetl в сообщении #1061804 писал(а):

с Крамера

А Вам советуют - с Кремера.

Anna from Svetl в сообщении #1061804 писал(а):

Если события $A$ и $B$ пересекаются, то для элементарных событий, принадлежащих одновременно $A$ и $B$, вероятности войдут в сумму дважды, поэтому логично вычесть один раз сумму вероятностей для таких элементарных событий, чтобы для каждого элементарного события из суммы $A$ и $B$ в вероятность входила в сумму один раз.

Плохо то, что Вы используете свойства вероятности там, где от Вас требовалось их доказать.

[Anna from Svetl]

Otta в сообщении #1061807 писал(а):

Плохо то, что Вы используете свойства вероятности там, где от Вас требовалось их доказать.

Но я же использую, вроде, не свойства, а определение?

[Anna from Svetl]

Еще один вопрос возник. В параграфе "Схема Бернулли" вводится вероятность $P(\omega)=p^k(1-p)^k$, где $r$ --- объем выборки с возвращением из генеральной совокупности $\left\{0,1\right\}$, $k$ --- число успехов (число выбранных единиц). Все ясно до момента доказательства того, что $p$ является вероятностью того, что единица окажется в выборке на фиксированном месте $s$. Доказательство проводится так.

Цитата:

Удалив из выборки элемент с номером $s$, мы получим выборку из той же совокупности, но объема $r-1$. Мы найдем искомую вероятность, если вероятности этих укороченных выборок умножим на $p$ и просуммируем по всем коротким выборкам. Ясно, что получится $p$.

Вопрос: откуда берется умножение на $p$?