Оценки получаются удивительно легко. Обозначим

.
Схема такая.
Заметим, что

Отсюда легко следует, что

А вот теперь рассмотрим произвольную норму, инвариантную относительно сдвигов. Например, норму в

.
Тогда

И, наконец,

Дальше возникают некоторые технические заморочки. Ясно, что данная оценка непосредственно проходит, скажем, для конечных сумм или для сумм с "быстроубывающими" коэффициентами. А в общем случае даже сходимость рядов надо как-то обосновывать (хоть в каком смысле). А уж "просто так" применять норму и вовсе не получится.
В общем случае надо действовать немного хитрее. Мы рассматриваем соотношение

как уравнение относительно

. Надо найти неподвижную точку. Легко видеть, что здесь имеет место сжатие, а значит работает метод последовательных приближений. Остается лишь применить к этой неподвижной точке преобразование Фурье и убедиться, что это то, что нужно.
Данное преобразование вылезло у меня в качестве побочной технической проблемы и я могу разные вопросы объехать на "кривой козе". Но все равно, довольно любопытно выяснить какая тут сходимость и все такое ... Вот я и подумал, что такая простая штука наверное уже кем-то рассматривалась. Попробовал поискать в справочниках и ничего не нашел.
Между прочим, вроде как получается, что функция

не просто ограничена, но еще и функция ограниченной вариации

. Вряд ли этот факт можно получить непосредственным суммированием.