Интересный мультипликатор Фурье

[sup]

Пусть $\alpha,\beta \in \mathbb{R}$, $|\alpha| < 1$. Рассмотрим оператор $\mathbf{F}$, который каждой функции

$$f(x) = \sum \limits_{n = 0}^{\infty} f_n\sin (nx)$$

ставит в соответствие функцию

$$\mathbf{F}f(x) \equiv g(x) = \sum \limits_{n = 0}^{\infty} \frac{f_n\sin (nx)}{1+ \alpha \cos (n\beta)}$$

По моим прикидкам получается, что $\mathbf{F}$ - ограниченный оператор в любом $L_p(0,\pi)$, $1 \leqslant p \leqslant \infty$.
Тогда, в частности, получаем ограниченность функции

$$g_0(x) = \sum \limits_{n = 0}^{\infty} \frac{\sin (nx)}{n(1+ \alpha \cos (n\beta))}$$

Мне кажется, что это должно быть давно известно. Был бы премного благодарен за ссылки на литературу.

[sergei1961]

Может быть, это свёртка Адамара двух функций, она записывается через интеграл, а тот может оказаться попроще оценить.

[sup]

Да оценить-то его я могу. (Кстати, неожиданно просто. )
Не хочется велосипед изобретать. Да и "приоритеты" знаете-ли. Хотелось бы просто сослаться и делу край.
Задача, конечно, любопытная. Я даже хотел что-нить олимпиадное из нее сделать. Но мне кажется, что все это в каком-то виде должно быть известно.
Поначалу мне в голову приходила т. Винера об абсолютно сходящихся рядах. Но, похоже, ерунда.

[sergei1961]

Зигмунд, Эдвардс-молчат, не помогают?

[sup]

Оценки получаются удивительно легко. Обозначим $\mathbf{F} f = g$.
Схема такая.
Заметим, что

$$\sin (nx) \cos (n\beta ) = 1/2(\sin(n(x+ \beta)) + \sin(n(x- \beta)))$$

Отсюда легко следует, что

$$g(x) = f(x) - \frac {\alpha}{2}(g(x + \beta) + g(x - \beta)) \eqno{(*)}$$

А вот теперь рассмотрим произвольную норму, инвариантную относительно сдвигов. Например, норму в $L_p(0,\pi)$.
Тогда

$$ \|g\| \leqslant \|f\| + \alpha \|g\|$$

И, наконец,

$$ \|g\| \leqslant \frac {\|f\|}{1 - |\alpha|}$$

Дальше возникают некоторые технические заморочки. Ясно, что данная оценка непосредственно проходит, скажем, для конечных сумм или для сумм с "быстроубывающими" коэффициентами. А в общем случае даже сходимость рядов надо как-то обосновывать (хоть в каком смысле). А уж "просто так" применять норму и вовсе не получится.

В общем случае надо действовать немного хитрее. Мы рассматриваем соотношение $(*)$ как уравнение относительно $g$. Надо найти неподвижную точку. Легко видеть, что здесь имеет место сжатие, а значит работает метод последовательных приближений. Остается лишь применить к этой неподвижной точке преобразование Фурье и убедиться, что это то, что нужно.
Данное преобразование вылезло у меня в качестве побочной технической проблемы и я могу разные вопросы объехать на "кривой козе". Но все равно, довольно любопытно выяснить какая тут сходимость и все такое ... Вот я и подумал, что такая простая штука наверное уже кем-то рассматривалась. Попробовал поискать в справочниках и ничего не нашел.
Между прочим, вроде как получается, что функция

$$ g_0(x) = \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac {\sin (nx)}{n(1 + \alpha \cos (n \beta))}$$

не просто ограничена, но еще и функция ограниченной вариации . Вряд ли этот факт можно получить непосредственным суммированием.

[sergei1961]

Здорово!