2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Интересный мультипликатор Фурье
Сообщение12.10.2015, 14:29 
Заслуженный участник


22/11/10
1183
Пусть $\alpha,\beta \in \mathbb{R}$, $|\alpha| < 1$. Рассмотрим оператор $\mathbf{F}$, который каждой функции
$$f(x) = \sum \limits_{n = 0}^{\infty} f_n\sin (nx)$$
ставит в соответствие функцию
$$\mathbf{F}f(x) \equiv g(x) = \sum \limits_{n = 0}^{\infty} \frac{f_n\sin (nx)}{1+ \alpha \cos (n\beta)}$$
По моим прикидкам получается, что $\mathbf{F}$ - ограниченный оператор в любом $L_p(0,\pi)$, $1 \leqslant p \leqslant \infty$.
Тогда, в частности, получаем ограниченность функции
$$g_0(x) = \sum \limits_{n = 0}^{\infty} \frac{\sin (nx)}{n(1+ \alpha \cos (n\beta))}$$
Мне кажется, что это должно быть давно известно. Был бы премного благодарен за ссылки на литературу.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интересный мультипликатор Фурье
Сообщение12.10.2015, 14:58 


25/08/11

1074
Может быть, это свёртка Адамара двух функций, она записывается через интеграл, а тот может оказаться попроще оценить.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интересный мультипликатор Фурье
Сообщение12.10.2015, 15:11 
Заслуженный участник


22/11/10
1183
Да оценить-то его я могу. (Кстати, неожиданно просто. :shock: )
Не хочется велосипед изобретать. Да и "приоритеты" знаете-ли. Хотелось бы просто сослаться и делу край.
Задача, конечно, любопытная. Я даже хотел что-нить олимпиадное из нее сделать. Но мне кажется, что все это в каком-то виде должно быть известно.
Поначалу мне в голову приходила т. Винера об абсолютно сходящихся рядах. Но, похоже, ерунда.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интересный мультипликатор Фурье
Сообщение12.10.2015, 18:04 


25/08/11

1074
Зигмунд, Эдвардс-молчат, не помогают?

 Профиль  
                  
 
 Re: Интересный мультипликатор Фурье
Сообщение12.10.2015, 19:58 
Заслуженный участник


22/11/10
1183
Оценки получаются удивительно легко. Обозначим $\mathbf{F} f = g$.
Схема такая.
Заметим, что
$$\sin (nx) \cos (n\beta ) = 1/2(\sin(n(x+ \beta)) + \sin(n(x- \beta)))$$
Отсюда легко следует, что
$$g(x) = f(x) - \frac {\alpha}{2}(g(x + \beta) + g(x - \beta)) \eqno{(*)}$$
А вот теперь рассмотрим произвольную норму, инвариантную относительно сдвигов. Например, норму в $L_p(0,\pi)$.
Тогда
$$ \|g\| \leqslant \|f\| + \alpha \|g\|$$
И, наконец,
$$ \|g\| \leqslant \frac {\|f\|}{1 - |\alpha|}$$
Дальше возникают некоторые технические заморочки. Ясно, что данная оценка непосредственно проходит, скажем, для конечных сумм или для сумм с "быстроубывающими" коэффициентами. А в общем случае даже сходимость рядов надо как-то обосновывать (хоть в каком смысле). А уж "просто так" применять норму и вовсе не получится.

В общем случае надо действовать немного хитрее. Мы рассматриваем соотношение $(*)$ как уравнение относительно $g$. Надо найти неподвижную точку. Легко видеть, что здесь имеет место сжатие, а значит работает метод последовательных приближений. Остается лишь применить к этой неподвижной точке преобразование Фурье и убедиться, что это то, что нужно.
Данное преобразование вылезло у меня в качестве побочной технической проблемы и я могу разные вопросы объехать на "кривой козе". Но все равно, довольно любопытно выяснить какая тут сходимость и все такое ... Вот я и подумал, что такая простая штука наверное уже кем-то рассматривалась. Попробовал поискать в справочниках и ничего не нашел.
Между прочим, вроде как получается, что функция
$$ g_0(x) = \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac {\sin (nx)}{n(1 + \alpha \cos (n \beta))}$$
не просто ограничена, но еще и функция ограниченной вариации :shock: . Вряд ли этот факт можно получить непосредственным суммированием.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интересный мультипликатор Фурье
Сообщение12.10.2015, 20:05 


25/08/11

1074
Здорово!

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group