Несколько слов о последовательностях.

[Pulseofmalstrem]

Доброе время суток, прошу проверить несколько моих идей о последовательностях на корректность.
Лемма 1.2. Если последовательность сходится к числу $a$, то для всех чисел $b < a$ существует некоторый номер $n$, начиная с которого $x_n > b$, и для всех чисел $c > a$ существует некоторый номер $n$, начиная с которого $x_n < c$. Верно и в обратную сторону.
$\lim\limits_{n \to \infty}^{} x _n = a \leftrightarrow (\forall b \in R, b < a \exists n_0 \in N : \forall n \geqslant n_0 \to x_n > b) \wedge (\forall b \in R, c > a \exists n_0 \in N : \forall n \geqslant n_0 \to x_n < c)$
Примечание: Это безусловно верно для всех конечных пределов, это верно для пределов $+ \infty$ и $- \infty$, если считать что выполнено
$\forall r \in R \to r < +\infty$ и $\forall r \in R \to r > -\infty$, но это неверно для предела $\infty$. Собственно его мы дальше и не рассматриваем.

1) Докажем необходимость:
Пусть $\lim\limits_{n \to \infty}^{} x _n = a$, и пусть для определенности $b < a$. Рассмотрим числу $\varepsilon = a - b$, тогда по определению предела существует номер $n_0$, начиная с которого все члены последовательности $x_n$ попадают в интервал $(a - \varepsilon, a + \varepsilon)$, и все они очевидно больше $b$. Аналогично, когда $b > a$.

2) Докажем достаточность.
Пусть верно, что для всех чисел $c > a$ существует некоторы номер,начиная с которого все члены последовательности оказываются меньше $c$, а для всех чисел $b < a$ существует некоторый номер, начиная с которого все члены последовательности оказываются больше $b$. Покажем, что число $a$ есть предел. Рассмотрим произвольную окрестность точки $a (a - \varepsilon, a + \varepsilon)$, в силу того что $a - \varepslon$ существует некоторый номер $n_0$, такой что $\forall n \geqslant n_0 \to x_n > a - \varepsilon$, аналогично $\exists n_1: \forall n \geqslant n_1 \to x_n < a + \varepsilon$. Возьмем максимальный номер из номеров $n_1$и $n_0$.
$n_2 = \max\limits_{}(n_0, n_1) \to \forall n \geqslant n_2 \to x_n \in (a - \varepsilon, a + \varepsilon)$, для произвольной окрестности точки $a$ нашелся номер, начиная с которого все члены последовательности попали в эту окрестность. Значит $a$ - предел.

[iifat]

Pulseofmalstrem в сообщении #1061621 писал(а):

все они очевидно больше $b$

Больше или равны. Не слишком это важно, но если вам нужно строгое неравенство, возьмите $\varepsilon$ поменьше.

[Pulseofmalstrem]

iifat
А разве окрестность точки это не интервал? По тому,что я выписал получается, что:
$a - \varepsilon = a - a + b = b$, тогда окрестность получается такая: $(b, 2a - b)$, отсюда видно, что все лежит в интервале больше $b$. Откуда там равенство может вылезти?
А если вышеизложенное суждение верно, то тогда это открывает путь к "коротким" доказательствам некоторых свойств предела:

1) Теорема о единственности предела.
Пусть последовательность $x_n$ имеет два предела $a$ и $b$, тогда между ними можно вставить рациональное $q$, и тогда по моей лемме:
Начиная с некоторого $n_0$ все члены последовательности меньше данного q, а с другого $n_1$ - больше - противоречие, стало быть предел только 1.

2) О зажатой последовательности.
$x_n < y_n < z_n; x_n \to a, z_n \to a$ стало быть для любого числа $c < a$ существует номер $n_0$, начиная с которого $x_n$ больше $c$, тогда по транзиту $y_n > a$, аналогично для числа $c > a$, существует номер $n_0$, начиная с которого $z_n < c$, тогда по транзиту $x_n < c$, стало быть по лемме предел $x_n$ есть $a$.

-- 12.10.2015, 09:57 --

И еще немного на другую тему:
Известно, что мощность множества всех последовательность есть $\aleph$, встает вопрос, а какова мощность множества всех сходящихся последовательностей?
Мне кажется, что опять же континиум, так как как минимум каждому действителньому числу можно сопоставить сходящуюся константную последователность. А сколько существует последовательностей, которые сходятся к данному числу? Я пока не придумал красивого доказательства, но вот так можно вроде:
Нам дано число $a$, очевидно что последователности вида:
$\frac{a x_n ^2 + b}{x_n^2}$
Сходятся к $a$, тогда каждой такой последовательности можно поставить в соответсвие число $b$, значит опять же континииум.
А можно ли доказать единственность предела, используя только мощности и кардинальные числа? Вдруг если бы пределов было бы 2 нам не хватило бы континиума, чтобы покрыть все сходящиеся последовательности? Хотя это маловероятно, так как нам надо будет получить из факта существования последовательности с двумя пределами (автоматически счетного множества последовательностей с двумя пределами, за счет вставок новых чисел и расщепления одной последовательности на n последовательностей), факт того что мощность таких последовательностей равна $2 ^ \aleph = \aleph_2$

[demolishka]

Pulseofmalstrem в сообщении #1061647 писал(а):

так как как минимум каждому действителньому числу можно сопоставить сходящуюся константную последователность

Действовать надо ровно наоборот и после применить теорему Кантора-Бернштейна.

Pulseofmalstrem в сообщении #1061647 писал(а):

А можно ли доказать единственность предела, используя только мощности и кардинальные числа?

Единственность предела - свойство топологическое. Например, в хаусдорфовых пространствах предел единственный.

[Pulseofmalstrem]

demolishka
Ну какая разница? Если ясно, что мощность сходящихся последовательностей не больше мощности всех последовательностей,
а мощность всех последовательностей равна континииуму, то мощность сходящихся последовательностей не больше мощности континииума, с другой стороны сопоставляя каждому действительному числу константную последовательность, то мы можем получить что мощность сходящихся последовательностей не менее мощности континииума, ну вот и все. Применяем теорему Кантора-Бернштейна и все доказано.

[Brukvalub]

Ну, и как из всех этих мощностей следует единственность предела?

[Anton_Peplov]

Pulseofmalstrem в сообщении #1061657 писал(а):

Ну какая разница? Если ясно, что мощность сходящихся последовательностей не больше мощности всех последовательностей,

Рассмотрите $\mathbb{R}$ с такой топологией.
1) $\mathbb{R}$ и пустое множество замкнуты.
2) Всякое множество из конечного числа точек замкнуто.
3) Других замкнутых множеств нет.

В нем тоже мощность сходящихся последовательностей не больше мощности всех последовательностей. Но любая точка последовательности $\{1,2,3..\}$ является ее пределом.