2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Несколько слов о последовательностях.
Сообщение12.10.2015, 08:59 


16/12/14
472
Доброе время суток, прошу проверить несколько моих идей о последовательностях на корректность.
Лемма 1.2. Если последовательность сходится к числу $a$, то для всех чисел $b < a$ существует некоторый номер $n$, начиная с которого $x_n > b$, и для всех чисел $c > a$ существует некоторый номер $n$, начиная с которого $x_n < c$. Верно и в обратную сторону.
$\lim\limits_{n \to \infty}^{} x _n = a \leftrightarrow (\forall b \in R, b < a \exists n_0 \in N : \forall n \geqslant n_0 \to x_n > b) \wedge (\forall b \in R, c > a \exists n_0 \in N : \forall n \geqslant n_0 \to x_n < c)$
Примечание: Это безусловно верно для всех конечных пределов, это верно для пределов $+ \infty$ и $- \infty$, если считать что выполнено
$\forall r \in R \to r < +\infty$ и $\forall r \in R \to r > -\infty$, но это неверно для предела $\infty$. Собственно его мы дальше и не рассматриваем.

1) Докажем необходимость:
Пусть $\lim\limits_{n \to \infty}^{} x _n = a$, и пусть для определенности $b < a$. Рассмотрим числу $\varepsilon = a - b$, тогда по определению предела существует номер $n_0$, начиная с которого все члены последовательности $x_n$ попадают в интервал $(a - \varepsilon, a + \varepsilon)$, и все они очевидно больше $b$. Аналогично, когда $b > a$.

2) Докажем достаточность.
Пусть верно, что для всех чисел $c > a$ существует некоторы номер,начиная с которого все члены последовательности оказываются меньше $c$, а для всех чисел $b  < a$ существует некоторый номер, начиная с которого все члены последовательности оказываются больше $b$. Покажем, что число $a$ есть предел. Рассмотрим произвольную окрестность точки $a (a - \varepsilon, a + \varepsilon)$, в силу того что $a - \varepslon$ существует некоторый номер $n_0$, такой что $\forall n \geqslant n_0 \to x_n > a - \varepsilon$, аналогично $\exists n_1: \forall n \geqslant n_1 \to x_n < a + \varepsilon$. Возьмем максимальный номер из номеров $n_1$и $n_0$.
$n_2 = \max\limits_{}(n_0, n_1) \to \forall n \geqslant n_2 \to x_n \in (a - \varepsilon, a + \varepsilon)$, для произвольной окрестности точки $a$ нашелся номер, начиная с которого все члены последовательности попали в эту окрестность. Значит $a$ - предел.

 Профиль  
                  
 
 Re: Несколько слов о последовательностях.
Сообщение12.10.2015, 09:40 
Заслуженный участник


16/02/13
4105
Владивосток
Pulseofmalstrem в сообщении #1061621 писал(а):
все они очевидно больше $b$
Больше или равны. Не слишком это важно, но если вам нужно строгое неравенство, возьмите $\varepsilon$ поменьше.

 Профиль  
                  
 
 Re: Несколько слов о последовательностях.
Сообщение12.10.2015, 09:51 


16/12/14
472
iifat
А разве окрестность точки это не интервал? По тому,что я выписал получается, что:
$a - \varepsilon = a - a + b = b$, тогда окрестность получается такая: $(b, 2a - b)$, отсюда видно, что все лежит в интервале больше $b$. Откуда там равенство может вылезти?
А если вышеизложенное суждение верно, то тогда это открывает путь к "коротким" доказательствам некоторых свойств предела:

1) Теорема о единственности предела.
Пусть последовательность $x_n$ имеет два предела $a$ и $b$, тогда между ними можно вставить рациональное $q$, и тогда по моей лемме:
Начиная с некоторого $n_0$ все члены последовательности меньше данного q, а с другого $n_1$ - больше - противоречие, стало быть предел только 1.

2) О зажатой последовательности.
$x_n < y_n < z_n; x_n \to a, z_n \to a$ стало быть для любого числа $c < a$ существует номер $n_0$, начиная с которого $x_n$ больше $c$, тогда по транзиту $y_n > a$, аналогично для числа $c > a$, существует номер $n_0$, начиная с которого $z_n < c$, тогда по транзиту $x_n < c$, стало быть по лемме предел $x_n$ есть $a$.

-- 12.10.2015, 09:57 --

И еще немного на другую тему:
Известно, что мощность множества всех последовательность есть $\aleph$, встает вопрос, а какова мощность множества всех сходящихся последовательностей?
Мне кажется, что опять же континиум, так как как минимум каждому действителньому числу можно сопоставить сходящуюся константную последователность. А сколько существует последовательностей, которые сходятся к данному числу? Я пока не придумал красивого доказательства, но вот так можно вроде:
Нам дано число $a$, очевидно что последователности вида:
$\frac{a x_n ^2 + b}{x_n^2}$
Сходятся к $a$, тогда каждой такой последовательности можно поставить в соответсвие число $b$, значит опять же континииум.
А можно ли доказать единственность предела, используя только мощности и кардинальные числа? Вдруг если бы пределов было бы 2 нам не хватило бы континиума, чтобы покрыть все сходящиеся последовательности? Хотя это маловероятно, так как нам надо будет получить из факта существования последовательности с двумя пределами (автоматически счетного множества последовательностей с двумя пределами, за счет вставок новых чисел и расщепления одной последовательности на n последовательностей), факт того что мощность таких последовательностей равна $2 ^ \aleph = \aleph_2$

 Профиль  
                  
 
 Re: Несколько слов о последовательностях.
Сообщение12.10.2015, 11:37 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/04/14
968
спб
Pulseofmalstrem в сообщении #1061647 писал(а):
так как как минимум каждому действителньому числу можно сопоставить сходящуюся константную последователность

Действовать надо ровно наоборот и после применить теорему Кантора-Бернштейна.
Pulseofmalstrem в сообщении #1061647 писал(а):
А можно ли доказать единственность предела, используя только мощности и кардинальные числа?

Единственность предела - свойство топологическое. Например, в хаусдорфовых пространствах предел единственный.

 Профиль  
                  
 
 Re: Несколько слов о последовательностях.
Сообщение12.10.2015, 11:41 


16/12/14
472
demolishka
Ну какая разница? Если ясно, что мощность сходящихся последовательностей не больше мощности всех последовательностей,
а мощность всех последовательностей равна континииуму, то мощность сходящихся последовательностей не больше мощности континииума, с другой стороны сопоставляя каждому действительному числу константную последовательность, то мы можем получить что мощность сходящихся последовательностей не менее мощности континииума, ну вот и все. Применяем теорему Кантора-Бернштейна и все доказано.

 Профиль  
                  
 
 Re: Несколько слов о последовательностях.
Сообщение12.10.2015, 17:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Ну, и как из всех этих мощностей следует единственность предела? :shock:

 Профиль  
                  
 
 Re: Несколько слов о последовательностях.
Сообщение12.10.2015, 19:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
8062
Pulseofmalstrem в сообщении #1061657 писал(а):
Ну какая разница? Если ясно, что мощность сходящихся последовательностей не больше мощности всех последовательностей,

Рассмотрите $\mathbb{R}$ с такой топологией.
1) $\mathbb{R}$ и пустое множество замкнуты.
2) Всякое множество из конечного числа точек замкнуто.
3) Других замкнутых множеств нет.

В нем тоже мощность сходящихся последовательностей не больше мощности всех последовательностей. Но любая точка последовательности $\{1,2,3..\}$ является ее пределом.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group