Геометрическая вероятность

[Tosha]

1) Найти вероятность того, что из трех наудачу взятых отрезков, длиной не более чем $1$ можно составить треугольник.

Нужно, чтобы выполнялось неравенство треугольника $x+y<1$, $x+z<1$, $y+z<1$.

Правильно ли понимаю, что нужно найти отношение объема пирамиды $V=\dfrac{1}{3}\cdot 0,5\cdot 1=\dfrac{1}{6}$ и куба $V=1$.

Ответ: $\dfrac{1}{6}$ Верно?

2) На $n$-мерной сфере случайно выбрана $n+1$ точка. Найти вероятность того, что их выпуклая оболочка не содержит центра сферы.

Я так понимаю, что не содержит центр эта оболочка, если в одну из половинок сферы умещается выпуклая оболочка, потому вероятность $0,5$. Верно или нет?

3) Случайная точка $A$ имеет равномерное распределение в прямоугольнике со сторонами $1$ и $2$.

Найти вероятности следующих событий:

a) Расстояние от точки $A$ до ближайшей диагонали прямоугольника не превосходит $x$.

b) Расстояние от точки $A$ до любой стороны прямоугольник не превосходит $x$,

с) Расстояние точки$A$ до ближайшей стороны прямоугольника меньше, чем от $A$ до ближайшей диагонали.

Правильно ли я понимаю, что искомая вероятность зависит от $x$? С чего тут начать, подскажите, пожалуйста, не понимаю...

[provincialka]

Tosha в сообщении #1061548 писал(а):

Нужно, чтобы выполнялось неравенство треугольника $x+y<1$, $x+z<1$, $y+z<1$.

По-вашему, это неравенства треугольника? Для треугольника со сторонами $x,y,z$? Или вы получили их после преобразований?

-- 12.10.2015, 01:37 --

Tosha в сообщении #1061548 писал(а):

Я так понимаю, что не содержит центр эта оболочка, если в одну из половинок сферы умещается выпуклая оболочка,

А как вы делите сферу на половинки? И разве для $n$ точек попасть в эту "половинку" так же просто, как и для одной?

[Tosha]

Спасибо, точно.

$x+y<z$, $x+z<y$, $y+z<x$.

То есть нужно построить пересечение плоскостей этих с плоскостями $x>0,y>0,z>0$ ? И ограничивающий их объем поделенный на объем куба будет искомой вероятностью.

[provincialka]

Tosha в сообщении #1061548 писал(а):

С чего тут начать, подскажите, пожалуйста, не понимаю...

Начать с первой задачи. Не стоит обсуждать их все разом! Пока у вас ни одного верного решения нет ...

-- 12.10.2015, 01:41 --

Tosha в сообщении #1061561 писал(а):

$x+y<z$, $x+z<y$, $y+z<x$.

Хм... А приведите мне пример тройки положительных чисел, удовлетворяющих этой системе!

-- 12.10.2015, 01:44 --

Tosha в сообщении #1061561 писал(а):

И ограничивающий их объем

Все-таки выражайтесь аккуратнее... У вас что, объем ограничивает что-то? (не поняла, плоскости или прямые их пересечения). Все-таки, наверное, наоборот...

[Tosha]

Спасибо, ясно, тут $x+y<z$, $x+z<y$, $y+z<x$. пустое множество

Знаки должны быть в другую сторону!

$x+y>z$, $x+z>y$, $y+z>x$.

Нужно попытаться построить?

[provincialka]

Tosha в сообщении #1061564 писал(а):

Нужно попытаться построить?

Ну... отчасти... Там получается довольно "неудобная" фигура. Лучше перейдите к противоположному событию!

[Tosha]

Противоположное событие -- это когда не выполняется хотя бы одно из неравенств $x+y<z$, $x+z<y$, $y+z<x$.

Если выполняется $x+y<z$, то $x<z$ и $y<z$, значит может выполняться только одно из этих трех неравенств.

Правильно?

[provincialka]

Да! Они несовместны. Так что достаточно посчитать вероятность для одного и умножить на 3. Думаю, с этим вы сами справитесь! (Мне спать уже надо)

[Tosha]

Спасибо! Геометрически нужно вычислить?

-- 12.10.2015, 02:06 --

Спокойной ночи!

-- 12.10.2015, 02:25 --

У меня такая картинка получилась



$V=\dfrac{1}{6}$

$P=1-3\cdot \frac{1}{6}=0,5$

Верно?

-- 12.10.2015, 02:27 --

Появились соображения по третьей задаче



$AF=x$

$EC=\sqrt{5}$

$AB=0,5\sqrt{5}$

$P=\dfrac{S_{MND}+S_{KLB}}{S_{EBCD}}=\dfrac{S_{KLB}}{S_{EBC}}=k^2=\dfrac{(0,5\sqrt{5}-x)^2}{0,5\sqrt{5}}=\dfrac{2(0,5\sqrt{5}-x)^2}{\sqrt{5}}$

Верно?

[provincialka]

Первая задача верно.
В третьей вы решаете пункт а) ? Тогда это вероятность противоположного события. Кроме того, есть ошибки в счете: $\frac{\sqrt 5}{2}$ -- это длина медианы треугольника, а не высоты. Но идея верная.

[Tosha]

provincialka в сообщении #1061623 писал(а):

Первая задача верно.
В третьей вы решаете пункт а) ? Тогда это вероятность противоположного события. Кроме того, есть ошибки в счете: $\frac{\sqrt 5}{2}$ -- это длина медианы треугольника, а не высоты. Но идея верная.

Точно, ясно. Высота $\dfrac{2}{\sqrt{5}}$

Понятно с пунктом a) А можете подсказать про идею в задаче про выпуклую оболочку, пожалуйста!

[provincialka]

С задачей 2 сложнее. Для $n=2$, то есть для окружности, так и получается, $1/2$. В общем случае ясно, что любые $n$ точек сферы лежат по одну сторону от некоей гиперплоскости, проходящей через центр (то есть "на одной полусфере") Но она же определяется не однозначно... Тут нужно думать...
Ответ, видимо, действительно $1/2$. Но задача ближе к олимпиадной. Может, вероятностники "подтянутся", подождите!

[Geen]

provincialka в сообщении #1061645 писал(а):

Может, вероятностники "подтянутся", подождите!

Мне кажется, задача скорее геометрическая - если мы возьмём $n$ точек, то сечение сферы на две половины определяется однозначно.

[Tosha]

Geen в сообщении #1061654 писал(а):

provincialka в сообщении #1061645 писал(а):

Может, вероятностники "подтянутся", подождите!

Мне кажется, задача скорее геометрическая - если мы возьмём $n$ точек, то сечение сферы на две половины определяется однозначно.

Но мне кажется, что если ставить точки по одной на эту сферу, то может не все так радужно?

[provincialka]

Geen в сообщении #1061654 писал(а):

если мы возьмём $n$ точек, то сечение сферы на две половины определяется однозначно.

Почему? Если точки близко друг к другу, то существует много гипер-полу-пространств, в которых они лежат.

Tosha в сообщении #1061665 писал(а):

А если $n+1$ точку?

Если полупространство задано, то последняя точка попадает в него с вероятностью 1/2. Так, как вы и рассуждали с самого начала.