Во всяком непустом интервале есть рациональное число

[ISBA]

Задание: используя аксиому Архимеда, доказать, что в каждом непустом интервале есть рациональное число.

Мы формулировали аксиому Архимеда так: "Множество натуральных чисел неограниченно". И как следствие из этого, всякий отрезок $b$ можно покрыть конечным числом отрезков $a$.

Использовал такую идею: если аксиома Архимеда не выполняется, то существуют такие $a$, что ими нельзя покрыть какой-то $b$, и попробовал сделать такое предположение, из которого следовала бы ограниченность $\mathbb{N}$.

Рассмотрим интервал $b$. Докажем, что для всякого $a < b$ существует $n \in \mathbb{N}$ такое, что $na > b$.

Предположим,

$\exists a < b\colon \nexists$ $na > b$

Иначе (это верный переход?):

$\exists a < b\colon \forall n \in \mathbb{N}$ $na < b \Rightarrow \forall n$ $n < \frac{b}{a}$

противоречие.

Дальше я не знаю в точности, что делать. Первая мысль: "Ну если $a, b \in \mathbb{R}$, значит, $a$ может быть рациональным и тогда утверждение доказано". Хотя, с другой стороны, почему не могло случиться так, что из-за чего-то все $a$ могли бы быть только иррациональными?

Ещё у меня есть процедура нахождения рационального числа между двумя другими рациональными:

Представим два числа $a < b$ в виде дробей $a = \frac{m_1}{n_1}$ и $b = \frac{m_2}{n_2}$, $m_i \in \mathbb{Z}$, $n_i \in \mathbb{N}$.

$\frac{2m_1n_2}{2n_1n_2} < \frac{m_1n_2 + n_1m_2}{2n_1n_2} < \frac{2n_1m_2}{2n_1n_2}$, $\frac{m_1n_2 + n_1m_2}{2n_1n_2}$ — рациональное число, притом лежащее между $a$ и $b$, таким образом, между любыми двумя рациональными числами можно найти ещё одно.

Тогда можно предложить ещё один вариант рассуждения: коль скоро мы можем предъявить сколь угодно малое рациональное число $a$, то $\forall b$ $\exists a$ такое, что:

1. $a \in \mathbb{Q}$
2. $a < b$

Но, кажется, это просто переформулировка исходной задачи. Как быть?

[iifat]

ISBA в сообщении #1061107 писал(а):

если аксиома Архимеда не выполняется

Не очень понятно, как именно вы хотите прийти к требуемому выводу. Несколько напоминает доказательство от противного, но там-то схема другая — если из отрицания вывода следует отрицание посылки, то из посылки следует вывод, если я сколь-нибудь понятно изъясняюсь. Отрицать же посылку, как это делаете вы, бессмысленно — даже если вы выведете из этого отрицания чего интересного, решению задачи это ничем не поможет.

-- 11.10.2015, 02:15 --

ISBA в сообщении #1061107 писал(а):

у меня есть процедура нахождения рационального числа между двумя другими рациональными

Само по себе это ещё не доказывает исходного утверждения. А что доказывает? Ну, например, если между двумями рациональными числами вы б научились вставлять много-много, и притом часто-часто...

[ewert]

ISBA в сообщении #1061107 писал(а):

Мы формулировали аксиому Архимеда так: "Множество натуральных чисел неограниченно".

Это бессмысленная формулировка. В том смысле, что оно не ограничено по самому своему определению. Выберите любую из вменяемых формулировок той аксиомы.

ISBA в сообщении #1061107 писал(а):

Рассмотрим интервал $b$.

Не рассмотрим. Не удастся, т.к. число -- ни разу не интервал.

Видите ли, трудно обсуждать что бы то ни было, когда все буквосочетания -- нарочито невпопад.

[Hasek]

Советую посмотреть доказательство этого утверждения в первом томе учебника В. А. Зорича по математическому анализу.

[ewert]

Зорич в данном случае -- не лучший вариант. Т.е. сам-то факт там доказывается разумно, но он тонет в некоторым довольно причудливом наборе утверждений. Например, самое первое из них -- о существовании максимального элемента в ограниченном подмножестве $\mathbb N$ -- обосновывается ссылкой на супремумы, что на первый взгляд выглядит несколько дико.

А всё дело в том, что для Зорича аксиома Архимеда -- вовсе не аксиома, а теорема, вытекающая из аксиомы полноты (в варианте Дедекинда). И он озабочен именно доказательством этого вытекания. В результате у него выходит, что существование рационального числа между двумя любыми как бы опирается на полноту, хотя фактически полнота тут не при чём, важен лишь Архимед сам по себе.

[Shadow]

А недостаточен ли тот факт, что, например

$\dfrac{\lceil na\rceil}{n}\in \left[a;a+\dfrac 1 n\right)$

(хотя в формальных доказательств очевидных фактах я немножко теряюсь - не знаю что можно, а что нельзя использовать.)

[ewert]

Shadow в сообщении #1061301 писал(а):

А недостаточен ли тот факт, что, например

$\dfrac{\lceil na\rceil}{n}\in \left[a;a+\dfrac 1 n\right)$

а что такое "целая часть"?... Без аксиомы Архимеда этого понятия нет, в рамках же аксиомы -- это понятие примерно того же уровня, что и обсуждаемое тут.

[ISBA]

Мда... Ясно пока лишь то, что каша у меня в голове одна, да притом приличная. Сейчас попробую разобраться.

ewert в сообщении #1061199 писал(а):

ISBA в сообщении #1061107 писал(а):

Рассмотрим интервал $b$.

Не рассмотрим. Не удастся, т.к. число — ни разу не интервал.

А можем тогда рассмотреть интервал, допустим, $c$ с границами $x_1$ и $x_2$ ($x_1 < x_2$) и сказать, что если для интервала $c' = (0, x_2 - x_1)$ найдётся некоторое число, скажем, $d$ внутри этого интервала, то для любого $c$ точка $(d + x_1) \in c$ (это, кажется, следует из аксиом, описывающих операцию сложения и отношение порядка — пока не было времени глубже в этом разобраться)?

А дальше представляем, что $b = x_2 - x_1$, и тогда нам снова есть о чём говорить, как мне кажется.

ewert в сообщении #1061298 писал(а):

Зорич в данном случае — не лучший вариант.

Однако исходить приходится из того, что как раз по Зоричу мы и идём (вернее, по конспекту, сделанному на его основе, иначе я бы раньше выполнил совет Hasek).

ewert в сообщении #1061199 писал(а):

ISBA в сообщении #1061107 писал(а):

Мы формулировали аксиому Архимеда так: "Множество натуральных чисел неограниченно".

Это бессмысленная формулировка. В том смысле, что оно не ограничено по самому своему определению. Выберите любую из вменяемых формулировок той аксиомы.

А вот тут сложно. И мой лектор, и Зорич формулируют эту аксиому как теорему и выводят из другой теоремы, теоремы о существовании точной верхней грани (лектор даёт ей название "принцип полноты Вейерштрасса"), которая, в свою очередь, выводится из аксиомы полноты, как вы и сказали, в варианте Дедекинда, разве что только в такой формулировке, что теория сечений не затрагивается. А дальше есть существенное различие: во-первых, Зорич выводит неограниченность натуральных чисел сверху, неограниченность целых чисел сверху и снизу, а потом формулирует принцип Архимеда так: "Если фиксировать произвольное положительное число $h$, то для любого действительного числа $x$ найдётся и притом единственное целое число $k$ такое, что $(k-1)h \leqslant \less kh$

Подход лектора отличается, он говорит, что сам принцип Архимеда заключается в том, что $\mathbb{N}$ не ограничено сверху, а, как следствие, $\forall b \in \mathbb{R} | b > 0$ и $\forall a \in \mathbb{R} | a > 0$ существует $n \in \mathbb{N} | an > b$

И единственное, что мне пока непонятно, это почему вы считаете вторую формулировку бессмысленной. Я пытался думать в эту сторону, и, честно, не смог представить конечного индуктивного множества, и интуитивно я согласен, что смысла в этом особо нет. Впрочем, я уже вооружен знанием, что интуиция частно плохо срабатывает. Наверно, надо смотреть в сторону множеств, на которых не выполняются аксиома полноты и/или они неупорядочены, но для меня это пока слишком сложная материя. Возможно, всё станет яснее, когда я попытаюсь выводить нашу аксиому полноты как теорему, приняв, как сказал лектор, одновременно и принцип Архимеда, и принцип полноты Вейерштрасса за аксиому, но пока это тоже в сторону.

iifat в сообщении #1061149 писал(а):

ISBA в сообщении #1061107 писал(а):

если аксиома Архимеда не выполняется

Не очень понятно, как именно вы хотите прийти к требуемому выводу. Несколько напоминает доказательство от противного, но там-то схема другая — если из отрицания вывода следует отрицание посылки, то из посылки следует вывод, если я сколь-нибудь понятно изъясняюсь. Отрицать же посылку, как это делаете вы, бессмысленно — даже если вы выведете из этого отрицания чего интересного, решению задачи это ничем не поможет.

Наверно, я снова невнятно выразился... Вот увидел я аксиому в нашей формулировке: "Множество $\mathbb{N}$ не ограничено сверху". И в задании сказано: "Доказать, используя аксиому Архимеда". Наверно, я должен предположить что-то, исходя из чего аксиома будет нарушена. Из чего она может быть нарушена? У нас есть следствие:
$\exists n \in \mathbb{N} | an > b$
$n > \frac{b}{a}$
Значит, если $\frac{b}{a}$ не может превысить некоторого значения, то и $n$ не потребуется сколь угодно большим. Так я только пришёл к тому, откуда брать ограничение на $n$.

Теперь ещё раз смотрю на задание: во всяком непустом интервале содержится рациональное число. Для начала я просто решил доказать, что в любом непустом интервале может быть какое-то число. А для этого уже взял интервал $(0, b)$ и стал показывать, что существуют такие $a < b$, что $na > b$ (если бы таких $a$ не существовало, то нарушалась бы неограниченность $\mathbb{N}$ сверху, что я и пытался показать в первой части первого сообщения). Так что, мне кажется, что отрицал я вывод и получил отрицание посылки (кстати, спасибо в этом месте: я раньше меньше задумывался над сутью метода "от противного").

iifat в сообщении #1061149 писал(а):

ISBA в сообщении #1061107 писал(а):

у меня есть процедура нахождения рационального числа между двумя другими рациональными

Само по себе это ещё не доказывает исходного утверждения. А что доказывает? Ну, например, если между двумя рациональными числами вы б научились вставлять много-много, и притом часто-часто...

Допустим, я умею вставлять их часто-часто. А как показать, что кого-то нельзя будет вставить настолько чаще, что между этими двумя "кем-то" не останется зазора для рационального числа? У меня получается только, что повторённое несколько раз постепенно становится истинным: для всякого $b$ можно найти меньшее число, так почему бы этому меньшему числу не быть рациональным... Наверно, отмету эту процедуру за ненадобностью, надо просто будет модифицировать первую часть так, чтобы найденное число имело вид $\frac{m}{n}$.

[ewert]

ISBA в сообщении #1061416 писал(а):

Однако исходить приходится из того, что как раз по Зоричу мы и идём

Тогда действительно читайте его пункт 9 градусов, но осторожно, не отвлекаясь на ненужные пункты, возникшие именно из того, что Зорич пытается доказывать "принцип Архимеда", а не рассматривает его как аксиому.

ISBA в сообщении #1061416 писал(а):

а потом формулирует принцип Архимеда так: "Если фиксировать произвольное положительное число $h$, то для любого действительного числа $x$ найдётся и притом единственное целое число $k$ такое, что $(k-1)h \leqslant \less kh$

Тут Зорич явно перестарался. Он попытался втиснуть в "принцип Архимеда-Зорича" чуть ли не вообще матанализ вместо того, чтобы разбить его на логически замкнутые кусочки.

ISBA в сообщении #1061416 писал(а):

он говорит, что сам принцип Архимеда заключается в том, что $\mathbb{N}$ не ограничено сверху, а, как следствие, $\forall b \in \mathbb{R} | b > 0$ и $\forall a \in \mathbb{R} | a > 0$ существует $n \in \mathbb{N} | an > b$

Это значит, что под "неограниченностью $\mathbb N$ сверху" понимается следующее утверждение: $(\forall x)\ \exists n\in\mathbb N:\ n>x$. Фактически это утверждение и является наиболее лаконичной формулировкой аксиомы Архимеда (эквивалентной всем прочим, в т.ч. и упомянутому следствию). Вот ровно эта формулировка Вам и нужна, и только она. Не считая ещё одного, уже элементарного утверждения, которое Зорич вроде бы зажевал (из-за не вполне удачной последовательности изложения): что любое непустое подмножество натуральных чисел имеет минимальный элемент. А жевать его никак не следовало: оно и принципиально, и не требует для себя аксиом ни Архимеда, ни тем более полноты.

Вот ровно этих двух утверждений и достаточно, никаких дополнительных ссылок не нужно. Сдвиньте (если понадобится) интервал в положительную область прибавлением целого; это можно по аксиоме Архимеда. Затем (вновь благодаря Архимеду) растяните интервал умножением на целое так, чтобы его длина стала больше единицы. Затем (опять этот Архимед) перешагните целым числом через левую границу растянутого интервала. Наконец, сделайте откат, и -- вот оно, Ваше рациональное число.

[iifat]

ISBA в сообщении #1061416 писал(а):

А как показать, что кого-то нельзя будет вставить настолько чаще, что между этими двумя "кем-то" не останется зазора для рационального числа?

Как это «не останется зазора»? Вы ведь бахвалились, что между любыми двумя рациональными числами можете вставить третье! И даже привели вполне правильное построение! А еперь — в кусты?
Ну, не знаю, насколько это надо, после того как ewert привёл полное доказательство, но если вы сумеете между любыми двумя рациональными числами вставить ещё несколько «часто», то бишь так чтобы максимальная длина отрезка не превышала, скажем, половины исходного, то...

-- 12.10.2015, 13:11 --

ISBA в сообщении #1061416 писал(а):

Наверно, я должен предположить что-то, исходя из чего аксиома будет нарушена

А, вы пытались доказать «обратным ходом». Подозреваю, если б получилось, это было бы правильным доказательством. Однако, не получилось. Впрочем, это вы и сами знаете