Сонантометрия или алгебра музыкальной гармонии.

[commator]

Желающим преуспеть

commator в сообщении #1046701 писал(а):

в понимании обер/унтертоновой дуальности и ценности теорий Римана, в связи с этим

может помочь фрагмент, для которого не нахожу в Сети исходной версии на немецком:

Riemann 1893 by Translator 1896 писал(а):

(Русский)

Одна нота в сравнении с другими нотами (мы будем говорить теперь только о нотах чья связь распознаётся слухом как гармоническая и понятная) либо сама неподвижная точка, prima ratio, начиная с которой другие учитываются или, наоборот, она взамен, учитывается в её связи к какой-то другой ноте; в первом случае она, следовательно, отправная точка для других нот — прима; в последнем, нота должна быть направлена к приме, чьё расстояние от неё выражено порядковым номером, соответствующим ступени в основной ска́ле какую нота занимает, считая от примы.

One note compared with other notes (we shall speak now only of notes whose relation is recognised by the ear as harmonic and intelligible) is either itself the fixed point, the prima ratio, starting from which the others are considered, or, conversely, it is in its turn cofisidered in its relation to some other note; in the former case it is, therefore, the starting point of reference for other notes — the prime; in the latter, a note to be referred to the prime, and whose distance from it is expressed by the ordinal number corresponding to the degree in the fundamental scale which the note occupies, counting from the prime.

Риман 1893 по Энгелю 1901 писал(а):

Каждый тонъ по отношенію къ другимъ тонамъ (причемъ въ данномъ случаљ, какъ и впредь, мы будемъ имљть въ виду только такіе тоны, которыхъ отношенія гармонически понятны и легко распознаются нашимъ ухомъ) можетъ быть разсматриваемъ двояко: или этотъ тонъ самъ является prima ratio, твердой опорной точкой, исходя изъ которой мы придаемъ то или иное значеніе другимь тонамъ, или-же, наобороть, мы разсматриваемъ его, исходя изъ какого-либо другого тона и, смотря по его отношенію къ этому последнему, придаемь ему то или иное значеніе. Въ первомъ случаљ онъ представляетъ собой исходный, главный, пунктъ соотношеній между тонами, приму; во второмъ случаљ онъ является уже зависимымъ тономъ, разстояніе котораго отъ примы выражается посредствомъ соответствующего порядковаго числа.

[commator]

commator в сообщении #1046701 писал(а):

в понимании обер/унтертоновой дуальности

ещё один фрагмент может помочь

Парч 1974 писал(а):

Система музыки есть организация связей высот, или тонов, друг с другом, и эти связи неизбежно связи чисел. Тон есть число, а так как тон в музыке всегда слышен в связи с одним или несколькими тонами — действительно слышимых или подразумеваемых — нам есть по крайней мере до двух чисел дело: число тона рассматриваемого и число тона слышимого или подразумеваемого в связи с первым тоном. Таким образом, соотношение.

(English)

A system of music is an organization of relationships of pitches, or tones, to one another, and these relationships are inevitably the relationship of numbers. Tone is number, and since a tone in music is always heard in relation to one or several tones — actually heard or implied — we have at least two numbers to deal with: the number of the tone under consideration and the number of the tone heard or implied in relation to the first tone. Hence, the ratio.

[commator]

commator в сообщении #1046701 писал(а):

просто, казалось бы:

commator в Сети писал(а):

Если вертикальный интервал построен из первого и энного обертонов, то это лишь в направлении снизу вверх, т. е. половина его cути. Проницательный Риман более сотни лет назад явно указал, что этот же интервал существует и сверху вниз. Тогда он построен из первого и энного унтертонов.

Но требуются усилия для привлечения внимания:

Парч 1974 писал(а):

Это обычная практика музыкально рассматривать соотношения (интервалы), как строящиеся вверх (с бо́льшим числом выше) от нижней постоянной и эта практика следует через эту книгу исключая случаи, когда обратное специально указано. Такая соотношенческая символика лишь одна из нескольких возможностей, и есть предмет произвольного выбора; обратная форма в практическом применении синонимична, и потому что этот факт не может быть затемнён, обратное будет показываться время от времени.

(English)

It is a common practice musically to consider ratios (intervals) as being built upwards (with the larger numbers above) from a lower constant, and this practice is followed throughout this book except when the reverse is specifically indicated. Such ratio symbolism is just one of several possibilities, and is a matter of arbitrary choice; the reverse form in practical application is synonymous, and in order that this fact may not be obscured the reverse will be indicated from time to time.

[commator]

commator в сообщении #1060738 писал(а):

ещё один фрагмент может помочь

Парч 1974 писал(а):

главный постулат настоящего изложения: что каждое соотношение Монофонической системы по меньшей мере двойственной идентичности. Каждое соотношение предполагает два родства; одно выражается через верхнее число, которое в нечетно-числовой форме представляет колебательную идентичность в тональности; другое родство выражается через нижнее число, которое в своей нечетно-числовой форме представляет колебательную идентичность в другой тональности.

Каковы бы ни были их выражения в соотношении, эти идентичности все рассматривается как нечётные числа.⁴ Есть одно из удивительных явлений акустики, что 2/1 тона, удвоение его циклов, даёт тон, который мы узнаём мгновенно отличаемым от первого, но так похожим на первый, что мы отвергаем его отдельную идентичность. Это другой тон, и все же это не так. Вывод таков, что удвоение циклов, в то время как оно производит другой тон, не меняет его идентичность.⁵ Практическое воздействие на соотношения этого психологического факта есть, что сделать каждый чётный номер идентичностью достигается через делитель 2.
<...>
верхние нечетные числа соотношений с Числовой Связью представляют то, что обычно называют "мажорной" тональностью, и нижние нечетные числа соотношений с Числовой Связью представляют то, что обычно называют "минорной" тональностью.

(English)

the major postulate of the present exposition: that every ratio of a Monophonic system is at least a dual identity. Every ratio implies two relationships; one is expressed by an over number which in its odd-number form represents a vibrational identity in a tonality; the other relationship is expressed by an under number, which in its odd-number form represents a vibrational identity in another tonality.

Whatever their expression in the ratio, these identities are all considered as odd numbers.⁴ It is one of the amazing phenomena of acoustics that the 2/1 of a tone, the doubling of its cycles, gives a tone which we know instantly to be different from the first, but one so like the first that we deny it a separate identity. It is another tone, and yet it is not. The conclusion is that doubling of cycles, while it produces another tone, does not change its identity.⁵ The practical effect on ratios of this psychological fact is to make each even number the identity achieved by the divisor 2.
<...>
the over odd numbers of ratios with a Numerary Nexus represent what is commonly called "major" tonality, and that the under odd numbers of ratios with a Numerary Nexus represent what is commonly called "minor" tonality.

[commator]

Очень хорошо, что нужда отображения соотношений в одну строчку описана именно так, как и я бы её описал.

Парч 1974 писал(а):

В исходной рукописи два числа каждого соотношения были показаны одно над другим, и эта форма существенна для изложения в определённых случаях, "над" число и "под" число часто имеющие созначения очень особенной природы, как будет видно. Крайностями печатного набора, однако, было трудно сохранить эту форму, где соотношения встречаются в тексте. Оба числа соотношения отображаются в той же строке; поэтому число предшествующее диагонали будет считаться "над" и число, последующее диагонали будет считаться "под". На схемах эти два числа всегда отображаются друг над другом, так что "над" и "под" созначения, если применимы, очевидны.

(English)

In the original manuscript the two numbers of each ratio were shown one above the other, and this form is significant to the exposition in certain cases, the "over" number and the "under" number frequently having connotations of a very specific nature, as will be seen. The exigencies of typesetting, however, made it difficult to preserve this form where ratios occur in the text. Both numbers of a ratio appear in the same line; therefore, the number preceding the diagonal will be considered "over" and the number following the diagonal will be considered "under." In the diagrams the two numbers are always shown one above the other, so that the "over" and "under" connotations, if applicable, are obvious.

[bntr]

Прошу прощения за офтопик на вашем форуме, но в сети появилась еще Теория многоосновности ладов и созвучий ч.II Гарбузова.

[commator]

bntr в сообщении #1061064 писал(а):

Прошу прощения за офтопик на вашем форуме, но в сети появилась еще Теория многоосновности ладов и созвучий ч.II Гарбузова.

Большое спасибо.

Лады, полагаю, имеют значительный интерес для сонантометрических исследований. Так что по теме, не сомневайтесь.

[commator]

Свободный Художник в сообщении #1050024 писал(а):

говорить об отношении измеримости, а не об отношении делимости.

B монохордовых обоснованиях тональной двойственности надо говорить и о делимости:

Парч 1974 писал(а):

Гармоническая Пропорция: та монохордовая процедура, через которую интервалы определяются через связь целой струны к половине, половины к третине, третины к четвертине, четвертины к пятине, а пятины к шестине, или [1 к 2,] 2 к 3, от 3 к 4, 4 к 5, 5 к 6, и т.д. Возможно определить тоны, соответствующие обертоновому ряду через эту процедуру, и в этом ощущается, что более низкие "обертоны" очерчивают Отональность ("мажорную тональность"; см. с. 89).

(English)

Harmonical Proportion: that monochord procedure by which intervals are determined by the relation of the whole string to the half, the half to the third, the third to the fourth, the fourth to the fifth, and the fifth to the sixth, or [1 to 2,] 2 to 3, 3 to 4, 4 to 5, 5 to 6, etc. It is possible to determine the tones corresponding to the overtone series by this procedure, and in this sense the lower "overtones" delineate Otonality ("major tonality"; see page 89).

и об измеримости:

Парч 1974 писал(а):

Арифметическая Пропорция: древний принцип строения ска́лы, через который звучащее тело разделено на несколько точно равных частей и ска́ла построена из полученных родственностей, или соотношений; это не даёт равные ска́льные шаги. Арифметическая Пропорция была схвачена некоторыми теоретиками, как древнее обоснование "минорной тональности", поскольку, начиная с одной стороны, она даёт высочайший тон, это выливается в ряд тонов точно обратный основному [тону] и его ряду частичных [тонов], нисходящий до произвольно низкого тона определённого количеством равных частей, используемых (см. стр. 174). Арифметическая Пропорция может быть рассмотрена как демонстрация Утональности («минорной тональности»).

(English)

Arithmetical Proportion: an ancient principle of scale structure by which a sounding body is divided into a number of exactly equal parts, and a scale constructed from the resulting relationships, or ratios; this does not produce equal scale steps. The Arithmetical Proportion has been seized upon by some theorists as the ancient substantiation of "minor tonality," since, starting with the one part that gives the highest tone, it results in a series of tones the exact reverse of a fundamental and its series of partials, down to an arbitrary low tone determined by the number of equal parts used (see page 174). The Arithmetical Proportion may be considered as a demonstration of Utonality ("minor tonality").

[Свободный Художник]

Читая вместе с Вами Парча, остаюсь приверженцем того, что в теории музыки должна существовать чисто арифметико-геометрическая "сердцевина", относительно независимая от акустики. Например, при рассмотрении эпиморных отношений:
http://www.forumklassika.ru/showthread. ... 27&page=29
могли бы быть полезны "решетки параллелограммов", которые рассматривал Гаусс:
http://www.px-pict.com/7/3/1/15/3/1/2/2.html

-- Чт окт 15, 2015 23:45:27 --

Там естественным образом возникает "унимодулярное соотношение" (соотношение 13.52 у Кокстера):
http://www.px-pict.com/7/4/4/2/3/2.html
эквивалентное эпиморности.

[commator]

Свободный Художник в сообщении #1063210 писал(а):

в теории музыки должна существовать чисто арифметико-геометрическая "сердцевина", относительно независимая от акустики

Как раз об этом думаю последние пару дней.

Дело в том, что нелинейность превращения синусоиды звука в ощущение высоты должна математически породить дополнительные фантомные обертоны, идеально гармоничные и арифметичные в смысле целочисленной кратности их частот и частоты стимулирующей синусоиды.

Если вместе с этой синусоидой поступает шлейф акустических обертонов, притом не идеальной гармоничности, возникнет конфликт с фантомным идеалом от нелинености в переходных каналах ́частота — высота.

Попагаю здесь зарыта собака с душком того, что называлось бы ощутить фальшивый, расстроенный со́звук (нем. Klang)

Хотелось бы знать есть ли опровержение моим размышлениям, или стоит в них покрепче вцепиться.

Книжку Парча давно в Сети поджидал. Теперь убедился: она того стоила. Не зря её в Америке не только читают, но и почитают. После европейского Римана, у американского Парча хороший ход конём, но и он до алгебры факторизаций не доскакал, а двойственность высотных выражений солидно запряг.

И главное никакой дури в области обертонов-гармоник-частичных. Все эти синонимы у него нумеруется дуально и динаково, от 1/1. Ясно, что человек качеством и комфортом расчётов был озабочен, а не лингвистикой германофильствующих болтунов, как нынешние муромы-зубы-олорулусы.

[Свободный Художник]

Свободный Художник в сообщении #1063210 писал(а):

...могли бы быть полезны "решетки параллелограммов", которые рассматривал Гаусс:

Приложение этих решеток к вопросам музыкознания можно найти, например, в работе Флетчера:
http://www.px-pict.com/7/4/4/2/5/1/0.html
которую Вы раздобыли в Англии.
Для более систематического изучения этой теории у нас имеется статья Б. Н. Делоне "Геометрия бинарных квадратичных форм":
http://www.px-pict.com/7/4/1/2/13/16/4.html

[Свободный Художник]

Свободный Художник в сообщении #1063210 писал(а):

Там естественным образом возникает "унимодулярное соотношение" (соотношение 13.52 у Кокстера):
http://www.px-pict.com/7/4/4/2/3/2.html
эквивалентное эпиморности.

commator в сообщении #1063245 писал(а):

Свободный Художник в сообщении #1063210 писал(а):

в теории музыки должна существовать чисто арифметико-геометрическая "сердцевина", относительно независимая от акустики

Как раз об этом думаю последние пару дней.

Быть может, этим Вашим размышлениям в какой-то степени поможет напоминание о том, что ДШБ (Дерево Штерна-Броко) порождается двумя унарными операциями V и H, геометрически соответствующими преобразованиям сдвига:
http://www.forumklassika.ru/showthread. ... 50&page=13
(постинг 126 от 17.04.2013 на указанной странице)
А также пояснения Б. Н. Делоне по поводу термина "унимодулярный":
http://www.px-pict.com/10/3/4/8/6/1.html

[commator]

commator в сообщении #1046701 писал(а):

помочь в в понимании обер/унтертоновой дуальности

может проходящий поезд:



Направление движения не поддаётся уверенному определению.

Точно так же нельзя утверждать, что основной тон некоторого обертона не есть унтертон этого обертона.

[commator]

commator в сообщении #1052659 писал(а):

commator в сообщении #1047556 писал(а):

унтертоны уже давно ввели, это удобно и они не мифические

Понадобилось глубже изучить известную статью Щютена. Там написано:

Schouten 1940 писал(а):

Это факт, что высота равна тому, что от основного тона приписывается даже тем звукам, в которых основной тон не присутствует.
<...>
одна или более составляющих могут быть восприняты, которые не соответствуют какому-то отдельному синусоидальному колебанию, но которые суть коллективное проявление некоторых из этих колебаний, которые не, или едва, заметны в отдельности. Эти компоненты (резидуумы) имеют нечистое, резкое тон-качество.
<...>
гармоники высшие по частоте, воспринимаются как субъективная составляющая фактически нижайшая по высоте.

(English)

It is a fact that a pitch equal to that of the fundamental tone is ascribed even to those sounds in which the fundamental tone is not present.
<...>
one or more components may be perceived which do not correspond with any individual sinusoidal oscillation, but which are a collective manifestation of some of those oscillations which are not or scarcely individually perceptible. These components (residues) have an impure, sharp tone-quality.
<...>
the harmonics highest in frequency are perceived as a subjective component almost lowest in pitch.

Риман по Юргенсону 1901, Созвук писал(а):

Звучащий тон производит созвучание в тех звукоспособных телах, собственный тон коих соответствует одному из унтертонов звучащего тона, или, что то же самое, когда этот звучащий тон является обертоном их собственного тона. Самым нижним комбинационным тоном интервала всегда бывает первый общий унтертон обоих тонов данного интервала, напр. для интервала e′ : g′ он = C, для c″ : d″ также C, но и для c′ : d″= C и т.д

Композиция для демонстрации унтеральной ска́лы и явления остатка, т. е. резидуума:





https://sites.google.com/site/commator/technology_e/143Pitch%20Categoricity_c1US00v11j.mp3
https://www.facebook.com/download/1515230418791157/143Pitch%20Categoricity_c1US00v11j%28MID%26TIFs%29.zip
https://www.facebook.com/download/875304025872497/143Pitch%20Categoricity_c1US00v11j.sib

Пояснения:

1. '=' перед символом означает ПЧИ нотную высоту (Πυθαγόρεια Чёткой Интонации).
2. '+n¢' или '−n¢' означает, соответственно, звуковую высоту по 'n' центов выше или ниже относительно стандартного 12РДО значения для ноты.
3. Δι, в честь Δίδυμος и ιΔ, от ςομυδιΔ (синтоническая комма) ⇒ нотная высота ΔЧИ ≡ ΠЧИ + 21,506290[81/80]¢ или − 21,506290[80/81]¢ соответственно.
4. Αρ, в честь Αρχύτας и ρΑ, от ςατυχρΑ (септимальная комма) ⇒ нотная высота ΑЧИ ≡ ΠЧИ + 27,264092[64/63]¢ или − 27,264092 [63/64]¢ соответственно.
5. Φα, в честь αλ-Φαράμπι и αΦ, от ιπμαραΦ (ундецимальная комма) ⇒ нотная высота ΦЧИ ≡ ΠЧИ + 53,272943[33/32]¢ или − 53,272943[32/33]¢ соответственно.
6. Нотные головки 'Обрубок овала' использованы для ЧΠ высот; 'треугольник вниз катетами' или 'треугольник вверх катетами' использованы для нот коммами ниже или выше ЧП высот.
7. В такте1 паузы в нижнем голосе перестают ощущаться начиная с 3-й или 4-й в последовательности. Резидуумы де-гармонизированных 12РДО со́звуков рассеивают ощущение основных высот.
8. В такте 2 паузы в нижнем голосе также незаметны от 3-й или 4-й в последовательности. Резидуумы гармонизованных ЧИП11 со́звуков коллективно порождают ощущения высот отсутствующих основных тонов.
9. В тактах 3-4 де-гармонизация резидуумов через преобразование из 11LJI в 12EDO чётко приводит к чувству рассеивания коллективного выражения отсутствующих основных тонов и все паузы отчётливо воспринимаются.

(English)

Explanations:

1. '=' before symbol means ΠJI (Πυθαγόρεια Just Intonation) note pitch.
2. '+n¢' or '−n¢' means accordingly sound pitch by 'n' cents sharper or flatter relatively standard 12EDO value for note.
3. Δι, after Δίδυμος, and ιΔ, from ςομυδιΔ (syntonic comma) ⇒ ΔJI note pitch ≡ ΠJI + 21,506290[81/80]¢ or − 21,506290[80/81]¢ accordingly.
4. Αρ, after Αρχύτας, and ρΑ, from ςατυχρΑ (septimal comma) ⇒ ΑJI note pitch ≡ ΠJI + 27,264092[64/63]¢ or − 27,264092[63/64]¢ accordingly.
5. Φα, after αλ-Φαράμπι, and αΦ, from ιπμαραΦ (undecimal comma) ⇒ ΦJI note pitch ≡ ΠJI + 53,272943[33/32]¢ or − 53,272943[32/33]¢ accordingly.
6. 'Stump of oval' note heads are used for ΠJI pitches; 'triangle cathetuses down' or 'triangle cathetuses up' ones are used for notes by commas flatter or sharper of ΠJI pitches.
7. In bar 1 the rests in bottom voice cease to be felt starting from the 3rd or 4th in the series. The residuals of the de-harmonized 12EDO klangs dissipate the sensation of fundamental pitches.
8. In bar 2 the rests in bottom voice also are imperceptible since the 3rd or 4th in the series. The residuals of the harmonized 11LJI klangs collectively generate the pitch sensations of the absent fundamentals.
9. In bars 3-4 de-harmonization of the residuals by conversions from 11LJI to 12EDO clearly leads to a sense of dissipate collective expression of the absent fundamentals and all the rests are clearly percepted.

[commator]

Для англоязычных посетителей перевод одного из предыдущих сообщений:

For English-speaking visitors the translation of one of previous messages:

commator in message #1053551 писал(а):

touched me <...> the fragment

Nemirovsky 1923 писал(а):

The natural system in comparison with the Pythagorean has a significant disadvantage in the form of impure fifths, formed between II VI degrees D - A

(Russian)

Натуральная система по сравнению с пифагоровой имеет существенный недостаток в виде нечистой квинты, образуемой между II VI ступенями D - A

Shortly before this was turned up an amazing fragment of another author:

Odoevsky 1869 by Bernandt 1956 писал(а):

In none really ancient, our mundane tunes and in none row of our current (i. e. synodical) Irmology, Usage, Shortened Usage, Octoechos* and Holidays (as studied by general search from string to string) is not found leaps nor on false fifth, or augmented fourth nor on sixth nor on seventh.

(Russian)

ни в одном, действительно древнем, нашем мирском напеве и ни в одной строке наших настоящих (т. е. синодских) Ирмология, Обихода, Сокращённого Обихода, Октоиха* и Праздников (как исследовано повальным обыском из строки в строку) не встречается скачков ни на фальшивую квинту, или увеличенную кварту, ни на сиксту, ни на cептиму.

Then again, accidentally has fell on a lot explaining fragment of the third author:

Helmholtz 1877 by Ellis 1895 писал(а):

By false relations is meant the case when two tones in consecutive chords, which belong to different voices, form false Octaves or false Fifths. For example, if one voice in the first chord sings b1 and another voice in the next chord sings b♭, or the first has c and the second c2♯, there are false Octave relations. False Fifth relations are forbidden for the extreme voices only. Thus in the first chord the bass has b1, in the second the soprano has f, or conversely, where b1 ... f is a false Fifth.
<...>
All these rules were essentially intended for the old ecclesiastical music, where a quiet, gentle, well-contrived, and well-adjusted stream of sound was aimed at, without any intentional effort or disturbance of the smoothest equilibrium. Where music has to express effort and excitement, these rules become meaningless. Hidden Fifths and Octaves and even false relations of Fifths are found in abundance in the chorales of Sebastian Bach, who is othewise so strict in his harmonies, but it must be admitted that the motion of his voices is much more powerfully expressed than in the old Italian ecclesiastical music.

(Russian)

Под переченьями подразумевается случай, когда два тона в последовательных аккордах, которые принадлежат к разным голосам, образуют фальшивые октавы или фальшивые квинты. Например, если один голос в первом аккорде поет b1 и другой голос в следующем аккорде поет b♭, или первый имеет c и второй c2♯, там есть октавные переченья. Квинтовые переченья запрещены только для крайних голосов. У такового в первом аккорде бас имеет B1, во втором сопрано имеет f или, наоборот, где B1 ... f есть фальшивая квинта.
<...>
Все эти правила были существенно предназначены для старой церковной музыки, куда тихий, мягкий, хорошо уравновешенный, и хорошо регулируемый поток звука был нацелен, без каких-либо усилий или преднамеренного нарушения гладкого равновесия. Где музыка должна выразить усилия и волнение, эти правила становятся бессмысленными. Скрытые квинты и октавы и даже переченья квинт находятся в изобилии в хоралах Себастьяна Баха, который в ином так строг в своих гармониях, но надо признать, что движение его голосов гораздо более мощно выражено, чем в старой итальянской церковной музыке.

It is clear that the current interval diminished/augmented fifths in times of Odoevsky-Helmholtz was still called false fifth, the old-fashioned, but were after all, also the times when this not terrible now interval completely offspring Satanic was called.

Impure (as deigned to call it Nemirovsky) fifth of pure system awaits the same fate. People will understand its true purpose, give it correct name and will meaningfully use this wonderful gift of nature, laughing over the barbarity of ancestors, stupidly maligned it.