Перефразированная теорема Штольца

[iou]

Здравствуйте.
На днях решил перефразировать теорему Штольца и попытаться доказать или опровергнуть, но успехом особо ничего не увенчалось.
Суть: пусть

$$\exists\lim_{n\to\infty} \frac{a_n-a_{n-1}}{b_n-b_{n-1}}}=\frac{1}{l}$$

Причём $a_n\to 0$, $b_n\to 0$, также $b_n$ монотонна.
Проверить существование

$$\lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{b_n}}=\frac{1}{l}$$

Мои мысли: обозначим $\frac{1}{a_n}=x_n$, $\frac{1}{b_n}=y_n$, тогда надо доказать, что

$$\exists\lim_{n\to\infty} \frac{y_n}{x_n}=l}$$

$y_n$ и $x_n$, соответственно, бесконечно большие (в силу того, что $a_n$ и $b_n$ бесконечно малы), тогда по сути нужно доказать классическую теорему Штольца, но с чуть другим данным пределом (нужно различать $a_n-a_{n-1}$ и $\frac{1}{a_n}-\frac{1}{a_{n-1}}$)
Прошу помощи в идеях с доказательством.

[iancaple]

Это было и на форуме topic26377.html и в вики https://ru.wikipedia.org/wiki/Теорема_Штольца
Для Вашего частного случая предложу самый очевидный путь
$\alpha_n:=l(a_{n-1}-a_n)-(b_{n-1}-b_n)$
$\beta_n:=b_{n-1}-b_n$ , эти одного знака
Тогда $\alpha_n=o(\beta _n)$
А надо доказать, что $\sum_N^{\infty}\alpha_n=o(\sum_N^{\infty}\beta _n)$, и тут уже можно включить $\varepsilon -N$ рассуждение