2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Проверте пожалуйста правильность решения диф. уравнения...
Сообщение12.03.2008, 19:36 
Аватара пользователя


13/11/07
41
Украина
Задание таково:

Найти частичное решение диффиринциального уравнения, которое удовлетворяет условиям:

$$y''-6y'+9y=x^2-x+3; \ \ \ y(0)=\frac {4} {3}; \ \ \ y'(0)=\frac {1} {27}$$

Решением данного диф. уравнения будет сумма $y=y_c+y_p$
Где $y_c$ - общее решение однородного диф. уравнения $y''-6y'+9y=0$,

а $y_p$ - частичное решение данного неоднородного уравнения.
Решение:
1 Находим решение однородного уравнения:

$$y''-6y'+9y=0$$

Запишем характеристическое уравнение данного диф. уравнения и найдём его корни:

$$k^2-6k+9=0; \ \ \ \ \k=k_1=k_2=3$$

Отсюда общее решение диф. уравнения будет:

$$y_c=e^{3x}(C_1+C_2x)$$

Учитывая начальные условия, находим C_1 и C_2:

$$y_c(0)=e^0(C_1+C_20)=\frac {4} {3}; \ \ \ \ C_1=\frac {4} {3} ;$$

$$y'=3e^{3x}(C_1+C_2x)+e^{3x}C_2;$$

$$y'(0)=3e^{30}(C_1+C_20)+e^{30}C_2=\frac {12} {3} +C_2=\frac {1} {27}; \ \ \ \  C_2=-\frac {107} {27};$$

И того:

$$y_c=e^{3x}(\frac {4} {3} - \frac {107} {27} x);$$

2 находим частичное решение неоднородного уравнения:

$$y''-6y'+9y=x^2-x+3;

$f(x)=x^2-x+3$ - многочелен второй степени, погэтому частичное решение ищем в виде:

$$y_p=Ax^2+Bx+C$$;

Находя коэффициенты, получаем:

$$y_p=\frac {1} {9} x^2+\frac {1} {27} x +\frac {1} {3}$$

И того, решение всего задания будет:

$$y=e^{3x}(\frac {4} {3} - \frac {107} {27} x)+\frac {1} {9} x^2+\frac {1} {27} x +\frac {1} {3};$$

Посмотрите пожалуйста, кто знает, правильно ли я всё здесь решил и расписал.Или может какие ошибки есть?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение12.03.2008, 19:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
lomaxe писал(а):
Или может какие ошибки есть?
Частное решение нужно искать после отыскания общего решения неоднородного уравнения, здесь Вы поспешили!

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение12.03.2008, 19:55 


29/09/06
4552
lomaxe писал(а):
Найти частичное решение диффEрEнциального уравнения, которое удовлетворяет условиям:

$$y''-6y'+9y=x^2-x+3; \ \ \ y(0)=\frac {4} {3}; \ \ \ y'(0)=\frac {1} {27}$$

$$\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots$$

И того, решение всего задания будет:

$$y=e^{3x}(\frac {4} {3} - \frac {107} {27} x)+\frac {1} {9} x^2+\frac {1} {27} x +\frac {1} {3};$$
Или может какие ошибки есть?

Проверяем первое условие, получаем $y(0)=\frac {4} {3}+\frac {1} {3}=\frac {5} {3}\not =\frac {4} {3};$. Стало быть, ошибки есть. Причину указал Brukvalub.
Но что это у Вас там $e^{30}$ повсюду фигурирует???

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение13.03.2008, 02:42 
Аватара пользователя


13/11/07
41
Украина
Brukvalub писал(а):
Частное решение нужно искать после отыскания общего решения неоднородного уравнения, здесь Вы поспешили!


Спасибо за помощь. Ошибки свои нашёл.Выходит:

$$y=e^3x(1-3x)+\frac {1} {9} x^2 +\frac {1} {27} x + \frac {1} {3}$$

Добавлено спустя 1 минуту 37 секунд:

Алексей К. писал(а):
Но что это у Вас там $e^{30}$ повсюду фигурирует???


Простите, это я пытался, но видно неудачно, изобразить произведения цивры 3 и нуля:)

Добавлено спустя 30 минут 44 секунды:

У меня возник ещё один вопрос с решением одного уравнения:

$$y''-4y'+4y=e^{2x}$$

После решения характеристического уравнения выходит $k=k_1=k_2=2$.

А вот дальше я немного затрудняюсь при нахождении частичного решения неоднородного уравнения:

$$y''-4y'+4y=e^{2x}$$

Согласно таблицы при $k=k_1=k_2=2$ частичное решение будет вида

$$y=x^2e^{2x}Q_n(x)$$

Но вот что дальше делать, я уже не помню.Давно как-то я решал, но сейчас требуется подсказка...

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение13.03.2008, 07:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
lomaxe писал(а):
Но вот что дальше делать, я уже не помню.Давно как-то я решал, но сейчас требуется подсказка...
Выписать многочлен Q с неопределёнными коэффициентами, подставить его в уравнение и эти коэффициенты найти.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение13.03.2008, 10:23 
Аватара пользователя


13/11/07
41
Украина
Brukvalub писал(а):
Выписать многочлен Q с неопределёнными коэффициентами, подставить его в уравнение и эти коэффициенты найти.


Это представить как:

$$y=Ax^2+Bx+C$$

а потом найти от этого производные первого и второго порядка и найти коэффициенты $A,B,C$? Я апрвильно понял?

Должно получиться что-то вроде:

$$(Ax^2+Bx+C)''-4(Ax^2+Bx+C)'+4(Ax^2+Bx+C)=x^2e^{2x}Q_n(x)$$?

А потом найти отсюда кэффициенты? Или в правой части не должно быть множителя: $Q_n(x)$?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение13.03.2008, 17:29 


01/04/07
104
ФПФЭ
Это представить как $ y = Ax^2e^{2x}$ ( т.к. в данном случае степень многочлена Q равна 0). Сами, ведь, написали в каком виде искать частное решение, откуда тогда вылез квадратный трехчлен?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение13.03.2008, 18:36 
Аватара пользователя


13/11/07
41
Украина
bobo писал(а):
Это представить как $ y = Ax^2e^{2x}$ ( т.к. в данном случае степень многочлена Q равна 0). Сами, ведь, написали в каком виде искать частное решение, откуда тогда вылез квадратный трехчлен?


Спасибо за помощь, огромное спасибо..уже решил:) Просто вчера ночью уже сидел и соображалка нормально не работала:)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
cron
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group