Проверте пожалуйста правильность решения диф. уравнения...

[lomaxe]

Задание таково:

Найти частичное решение диффиринциального уравнения, которое удовлетворяет условиям:

$$y''-6y'+9y=x^2-x+3; \ \ \ y(0)=\frac {4} {3}; \ \ \ y'(0)=\frac {1} {27}$$

Решением данного диф. уравнения будет сумма $y=y_c+y_p$
Где $y_c$ - общее решение однородного диф. уравнения $y''-6y'+9y=0$,

а $y_p$ - частичное решение данного неоднородного уравнения.
Решение:
1 Находим решение однородного уравнения:

$$y''-6y'+9y=0$$

Запишем характеристическое уравнение данного диф. уравнения и найдём его корни:

$$k^2-6k+9=0; \ \ \ \ \k=k_1=k_2=3$$

Отсюда общее решение диф. уравнения будет:

$$y_c=e^{3x}(C_1+C_2x)$$

Учитывая начальные условия, находим C_1 и C_2:

$$y_c(0)=e^0(C_1+C_20)=\frac {4} {3}; \ \ \ \ C_1=\frac {4} {3} ;$$

$$y'=3e^{3x}(C_1+C_2x)+e^{3x}C_2;$$

$$y'(0)=3e^{30}(C_1+C_20)+e^{30}C_2=\frac {12} {3} +C_2=\frac {1} {27}; \ \ \ \ C_2=-\frac {107} {27};$$

И того:

$$y_c=e^{3x}(\frac {4} {3} - \frac {107} {27} x);$$

2 находим частичное решение неоднородного уравнения:

$$y''-6y'+9y=x^2-x+3;

$f(x)=x^2-x+3$ - многочелен второй степени, погэтому частичное решение ищем в виде:

$$y_p=Ax^2+Bx+C$$;

Находя коэффициенты, получаем:

$$y_p=\frac {1} {9} x^2+\frac {1} {27} x +\frac {1} {3}$$

И того, решение всего задания будет:

$$y=e^{3x}(\frac {4} {3} - \frac {107} {27} x)+\frac {1} {9} x^2+\frac {1} {27} x +\frac {1} {3};$$

Посмотрите пожалуйста, кто знает, правильно ли я всё здесь решил и расписал.Или может какие ошибки есть?

[Brukvalub]

lomaxe писал(а):

Или может какие ошибки есть?

Частное решение нужно искать после отыскания общего решения неоднородного уравнения, здесь Вы поспешили!

[Алексей К.]

lomaxe писал(а):

Найти частичное решение диффEрEнциального уравнения, которое удовлетворяет условиям:

$$y''-6y'+9y=x^2-x+3; \ \ \ y(0)=\frac {4} {3}; \ \ \ y'(0)=\frac {1} {27}$$

$$\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots$$

И того, решение всего задания будет:

$$y=e^{3x}(\frac {4} {3} - \frac {107} {27} x)+\frac {1} {9} x^2+\frac {1} {27} x +\frac {1} {3};$$

Или может какие ошибки есть?

Проверяем первое условие, получаем $y(0)=\frac {4} {3}+\frac {1} {3}=\frac {5} {3}\not =\frac {4} {3};$. Стало быть, ошибки есть. Причину указал Brukvalub.
Но что это у Вас там $e^{30}$ повсюду фигурирует???

[lomaxe]

Brukvalub писал(а):

Частное решение нужно искать после отыскания общего решения неоднородного уравнения, здесь Вы поспешили!

Спасибо за помощь. Ошибки свои нашёл.Выходит:

$$y=e^3x(1-3x)+\frac {1} {9} x^2 +\frac {1} {27} x + \frac {1} {3}$$

Добавлено спустя 1 минуту 37 секунд:

Алексей К. писал(а):

Но что это у Вас там $e^{30}$ повсюду фигурирует???

Простите, это я пытался, но видно неудачно, изобразить произведения цивры 3 и нуля:)

Добавлено спустя 30 минут 44 секунды:

У меня возник ещё один вопрос с решением одного уравнения:

$$y''-4y'+4y=e^{2x}$$

После решения характеристического уравнения выходит $k=k_1=k_2=2$.

А вот дальше я немного затрудняюсь при нахождении частичного решения неоднородного уравнения:

$$y''-4y'+4y=e^{2x}$$

Согласно таблицы при $k=k_1=k_2=2$ частичное решение будет вида

$$y=x^2e^{2x}Q_n(x)$$

Но вот что дальше делать, я уже не помню.Давно как-то я решал, но сейчас требуется подсказка...

[Brukvalub]

lomaxe писал(а):

Но вот что дальше делать, я уже не помню.Давно как-то я решал, но сейчас требуется подсказка...

Выписать многочлен Q с неопределёнными коэффициентами, подставить его в уравнение и эти коэффициенты найти.

[lomaxe]

Brukvalub писал(а):

Выписать многочлен Q с неопределёнными коэффициентами, подставить его в уравнение и эти коэффициенты найти.

Это представить как:

$$y=Ax^2+Bx+C$$

а потом найти от этого производные первого и второго порядка и найти коэффициенты $A,B,C$? Я апрвильно понял?

Должно получиться что-то вроде:

$$(Ax^2+Bx+C)''-4(Ax^2+Bx+C)'+4(Ax^2+Bx+C)=x^2e^{2x}Q_n(x)$$

?

А потом найти отсюда кэффициенты? Или в правой части не должно быть множителя: $Q_n(x)$?

[bobo]

Это представить как $ y = Ax^2e^{2x}$ ( т.к. в данном случае степень многочлена Q равна 0). Сами, ведь, написали в каком виде искать частное решение, откуда тогда вылез квадратный трехчлен?

[lomaxe]

bobo писал(а):

Это представить как $ y = Ax^2e^{2x}$ ( т.к. в данном случае степень многочлена Q равна 0). Сами, ведь, написали в каком виде искать частное решение, откуда тогда вылез квадратный трехчлен?

Спасибо за помощь, огромное спасибо..уже решил:) Просто вчера ночью уже сидел и соображалка нормально не работала:)