Первые гомологии двумерного тора

[maximk]

Не до конца понял терминологические аспекты, подскажите пожалуйста, где недопонимание. Находим фактор $A_n/B_b$ при $n=1$. $A_n$ состоит из линейных комбинаций тех симплексов из $C_n$ ($n$-мерных), которые переходят при понижении размерности на $1$ (в группе $C_{n-1}$) в нейтральный элемент ($0$) (линейная комбинация $k$-мерных симплексов ($n \ne k$)) (в данном случае в линейную комбинацию точек) (всё это при $n=1$). Т.е. $A_n$ состоит из линейных комбинаций окружностей на торе (вот здесь мне и непонятно, как факторизовать "линейные комбинации окружностей" (при целочисленных коэффициентах)). $B_n$ состоит из тех линейных комбинаций ($n+1$-мерных симлексов), которые переходят в линейные комбинации $n$-мерных симплексов. При $n=1$ получается, что $B_n$ состоит из линейных комбинаций торов. Отсюда и вопрос: как факторизовать суммы произведений симплексов на числа по сумме произведений симплексов других размерностей на числа? В данном случае идет факторизация линейной комбинации окружностей по линейной комбинации торов, и что же это? Всё нипкак не могу понять, откуда в ответах группы вычетов и группы целых чисел берутся?

[GDTD]

maximk в сообщении #1059562 писал(а):

при $n=1$. $A_n$ состоит из линейных комбинаций тех симплексов из $C_n$ ($n$-мерных), которые переходят при понижении размерности на $1$ (в группе $C_{n-1}$) в нейтральный элемент ($0$)

Это циклы, если писать правильно.

Цитата:

Т.е. $A_n$ состоит из линейных комбинаций окружностей на торе

Неверно.

Цитата:

$B_n$ состоит из тех линейных комбинаций ($n+1$-мерных симлексов), которые переходят в линейные комбинации $n$-мерных симплексов. При $n=1$ получается, что $B_n$ состоит из линейных комбинаций торов.

Тоже неверно, читайте определение границы.

Цитата:

как факторизовать суммы произведений симплексов на числа по сумме произведений симплексов других размерностей на числа?

Нужно для начала прочесть материал, потом браться решать задачу. В зависимости от того, ищете Вы симплициальные или сингулярные гомологии (хоть они и совпадают), алгоритм решения будет разным.

[maximk]

Симплициальные гомологии.
Нужно представить топологическое пространство, гомеоморфное тору, в виде полиэдра, а затем триангулировать его. Не знаю, как выполнить триангуляцию. Клеточное разбиение подойдет в этом случае (одна нульмерная клетка, две одномерных, одна двумерная).
$B_n$ состоит из тех границ (линейные комбинации $n$-мерных симплексов из $C_{n+1}$), которые переходят в элементы $C_n$. Даже не знаю, из чего состоит $A_n$. Окружность допускает триангуляцию до границы треугольника. Но так как клеточное разбиение дает две окружности, то тогда $A_n$ будет линейной комбинацией двух линейных оболочек треугольников? Ну и само собой используем точность последовательности групп и гомоморфизмов (двойное применение граничного оператора дает $0$).

[Xaositect]

maximk в сообщении #1059574 писал(а):

Нужно представить топологическое пространство, гомеоморфное тору, в виде полиэдра, а затем триангулировать его. Не знаю, как выполнить триангуляцию. Клеточное разбиение подойдет в этом случае (одна нульмерная клетка, две одномерных, одна двумерная).

Вот давайте с этого и начнем. Клеточное разбиение, которое Вы привели, естественно, триангуляцией не будет, потому что из симплексов у Вас там только одна точка. Представьте себе тор и сделайте из него что-нибудь гомеоморфное, но составленное из треугольников. Ну или возьмите это клеточное разбиение и добавьте туда всего, чтобы получились интервалы и треугольники.

[GDTD]

maximk в сообщении #1059574 писал(а):

Нужно представить топологическое пространство, гомеоморфное тору, в виде полиэдра, а затем триангулировать его.

Нет никаких представлений в виде полиэдра. Тор имеет симплициальное разбиение, поэтому он по определению является полиэдром.

Цитата:

Не знаю, как выполнить триангуляцию. Клеточное разбиение подойдет в этом случае (одна нульмерная клетка, две одномерных, одна двумерная).

Вам нужно симплициальное разбиение, а не клеточное. Возьмите разбиение на 18 симплексов, в интернете можете найти картинку.

Цитата:

$B_n$ состоит из тех границ (линейные комбинации $n$-мерных симплексов из $C_{n+1}$), которые переходят в элементы $C_n$.

Я Вам писал уже, прочтите определение. $B_n$ есть подгруппа из $C_n$, состоящая из границ.

Цитата:

Окружность допускает триангуляцию до границы треугольника. Но так как клеточное разбиение дает две окружности, то тогда $A_n$ будет линейной комбинацией двух линейных оболочек треугольников? Ну и само собой используем точность последовательности групп и гомоморфизмов (двойное применение граничного оператора дает $0$).

Здесь каша пошла. То у Вас симплицальное разбиение, то клеточное. Если Вы ищете симплициальные гомологии, то для этого нужно:
1) задать какое-либо симплициальное разбиение тора;
2) вычислить группы гомологий с помощью матрицы инциденций.

[maximk]

GDTD, я и так помню определение $B_n$, просто видимо неправильно понимаю. Это ведь есть образ гомоморфизма из $C_{n+1}$ в $C_n$, ну дак и что здесь неправильно-то?
С остальным в принципе понятно.

[GDTD]

maximk в сообщении #1059589 писал(а):

GDTD, я и так помню определение $B_n$, просто видимо неправильно понимаю. Это ведь есть образ гомоморфизма из $C_{n+1}$ в $C_n$, ну дак и что здесь неправильно-то?

С образом правильно, до этого было написано неправильно.

[Munin]

GDTD в сообщении #1059582 писал(а):

Возьмите разбиение на 18 симплексов, в интернете можете найти картинку.

А я на 6 могу разбить. Что я делаю не так?

[GDTD]

Munin в сообщении #1059621 писал(а):

GDTD в сообщении #1059582 писал(а):

Возьмите разбиение на 18 симплексов, в интернете можете найти картинку.

А я на 6 могу разбить. Что я делаю не так?

Картинку вставьте, посмотрим.

[Xaositect]

Munin в сообщении #1059621 писал(а):

А я на 6 могу разбить. Что я делаю не так?

Что-то явно делаете не так, потому что минимум 14. В симплициальном комплексе любые два симплекса могут пересекаться только по одной грани.

[Munin]

А, ну если так, то не 6. Спасибо.