Ну там вот выше уже правильно заметили, что существование таких множеств не допускается аксиомой регулярности.
Года четыре назад на другом форуме я как-то написал довольно большую телегу насчёт этой и других аксиом ZFC. Повторять все эти рассуждения здесь было бы долго, лучше посмотрите
сюда.
Аксиома регулярности допускает различные формулировки. Наиболее часто встречается следующая:
Для любого непустого множества найдётся , такой что .
Как отсюда вывести утверждение о том, что ни одно множество не может содержать себя в качестве элемента? Довольно просто. Предположим, что
. По аксиоме выделения существует множество
Так как
, то
. Выберем
, такой что
. Однако так как
, то
и
, так что
. Противоречие.
Можно, кстати, и по другому . Пусть
. По аксиоме пары существует множество
. Так как
, то
. Значит, существует
, такой что
. Однако
является единственным элементом
, так что
и
. Опять противоречие.
В качестве упражнения предлагаю Вам доказать следующее утверждение:
Не существует бесконечной последовательности множеств , такой что для любого .
Иногда аксиому регулярности формулируют в виде этого утверждения
Добавлено спустя 40 минут 43 секунды:
Dialectic писал(а):
А можете в двух словах объяснить, что такое "модель"? А то это слово часто встречается, особенно в работах по логике, только смысл как то трудно улавливается.
По существу Вам уже ответили:
Someone писал(а):
Модель - это совокупность объектов и отношений, для которых выполняются все аксиомы теории.
Замечу ещё, что так как для любой алгебраической системы можно выписать элементарную теорию, то термины
модель и
алгебраическая система являются синонимами. Алгебраическая система же --- это произвольное непустое множество с заданными на нём операциями, отношениями и выделенными элементами (константами).
Примеры моделей: группы, кольца, поля, частично упорядоченные множества etc.
Если интересно, то можно и более формально
Существует 2 подхода к определению: один совсем формальный, характерный для советсткой школы и связанный с понятием "сигнатуры", а также другой, менее формализованный и принятый на западе. Насчёт второго советую почитать "Теорию моделей" Чена и Кейслера. Они не вводят понятия сигнатуры и предпочитают говорить сразу об "языке модели". Впрочем, все специалисты, как наши, так и западные, знают, что такое сигнатура, так что начнём лучше с неё.
Определение. Сигнатурой называется упорядоченная пара
, где
,
и
--- произвольные попарно не пересекающиеся множества, а
--- функция из
в
.
В этом определении
называют
множеством функциональных символов,
множеством предикатных символов,
множеством константных символов, а
---
функцией местности. Таким образом, у каждого предикатного и функционального символа есть местность. Иногда (например, в книге Ершова и Палютина) множество константных символов отдельно не выделяют,
рассматривают как функцию в
(а не в
без нуля) и считают, что константные символы --- это функциональные символы местности
.
Определение.
Моделью (или
алгебраической системой) сигнатуры
называется пара
, где
--- произвольное непустое множество, а
--- функция с областью определения
и такая, что
1) для
;
2) для
есть функция из
в
;
3) для
есть подмножество множества
.
В этом определении множество
называют
носителем модели
(на западе носитель обозначают словом "universe", так что и в русскоязычной литературе часто вместо слова "носитель" используют слово "универсум"), а функцию
---
интерпретацией. Смысл во всём этом такой: сигнатура --- это набор имён (для каких-то элементов, функций и предикатов на носителе, которые "заслуживают специального обозначения", а интерпретация --- это соответствие, которое каждому имени сопоставляет объект, этим именем названный.
В качестве примера модели рассмотрим упорядоченное поле действительных чисел. Сигнатура для него такая:
Носителем является множество
, а интерпретация сопоставляет символам сигнатуры "их обычные значения" (то есть символу
множество всех упорядоченных пар действительной прямой, у которых первая компонента лежит на действительной оси левее второй, символу
--- стандартную операцию сложения, символу
--- стандартный ноль и т. д.)
Если что непонятно --- спрашивайте.