Dialectic писал(а):
Определим множество М - как множество состоящее из всех бесконечных множеств. Поскольку бесконечных множеств существует бесконечное количество, то множество М-обладает тем свойством, что оно содержит бесконечное количество элементов, следовательно множество М должно быть включено в множество М как элемент!
Dialectic писал(а):
Где конкретно в приведёном примере противоречие? То что, в той или иной аксиоматической теории может возникнуть противоречие,ещё не означает, что конретный пример приведённый Пенроузом противоречив.
Вас интересует противоречие в этой конструкции? No problem, как говорится
Рассмотрим множество
всех бесконечных подмножеств
. Так как
есть совокупность всех бесконечных множеств, а
состоит только их бесконечных множеств, то
. Пусть теперь
Так как
, то
и либо
конечно, либо
.
Покажем, что предположение
приводит к противоречию. Допустим, что
. Тогда либо
, либо
. Если
, то по определению
справедливо
, поскольку мы включаем в
только те элементы
, которые не являются элементами самих себя. Если же
, то множество
должно принадлежать себе как элемент множества
, не принадлежащий себе, то есть должно быть выполнено
. В обоих вариантах противоречие налицо.
Осталось показать, что
не может быть конечным. Предположим противное и пусть
для некоторого
.
Так как
бесконечно, то можно найти бесконечную последовательность
различных элементов из
. Пусть теперь
и
Пусть также
Каждый
является бесконечным подмножеством
и, значит,
.
Пусть
и
Так как
, то
и
. Значит, либо
, либо
.
Однако если
, то
для некоторого
. Но тогда
и
. Противоречие. Если же
, то
для некоторого
и
так что
. Опять противоречие!
P. S. В заключение присоединяюсь к пожеланию
Brukvalub: не читайте плохих книжек!!!