2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 
Сообщение13.03.2008, 09:39 
Заморожен
Аватара пользователя


18/12/07
8774
Новосибирск
Dialectic писал(а):
Определим множество М - как множество состоящее из всех бесконечных множеств. Поскольку бесконечных множеств существует бесконечное количество, то множество М-обладает тем свойством, что оно содержит бесконечное количество элементов, следовательно множество М должно быть включено в множество М как элемент!


Dialectic писал(а):
Где конкретно в приведёном примере противоречие? То что, в той или иной аксиоматической теории может возникнуть противоречие,ещё не означает, что конретный пример приведённый Пенроузом противоречив.


Вас интересует противоречие в этой конструкции? No problem, как говорится :)

Рассмотрим множество $\mathcal{P}_{\mathrm{inf}}(M)$ всех бесконечных подмножеств $M$. Так как $M$ есть совокупность всех бесконечных множеств, а $\mathcal{P}_{\mathrm{inf}}(M)$ состоит только их бесконечных множеств, то $\mathcal{P}_{\mathrm{inf}}(M) \subseteq M$. Пусть теперь

$$
X = \{ x \in \mathcal{P}_{\mathrm{inf}}(M) : x \not\in x \}
$$

Так как $X \subseteq \mathcal{P}_{\mathrm{inf}}(M) \subseteq M$, то $X \subseteq M$ и либо $X$ конечно, либо $X \in \mathcal{P}_{\mathrm{inf}}(M)$.

Покажем, что предположение $X \in \mathcal{P}_{\mathrm{inf}}(M)$ приводит к противоречию. Допустим, что $X \in \mathcal{P}_{\mathrm{inf}}(M)$. Тогда либо $X \in X$, либо $X \not\in X$. Если $X \in X$, то по определению $X$ справедливо $X \not\in X$, поскольку мы включаем в $X$ только те элементы $\mathcal{P}_{\mathrm{inf}}(M)$, которые не являются элементами самих себя. Если же $X \not\in X$, то множество $X$ должно принадлежать себе как элемент множества $\mathcal{P}_{\mathrm{inf}}(M)$, не принадлежащий себе, то есть должно быть выполнено $X \in X$. В обоих вариантах противоречие налицо.

Осталось показать, что $X$ не может быть конечным. Предположим противное и пусть $X = \{ x_1, \ldots, x_n \}$ для некоторого $n \in \mathbb{N}$.

Так как $M$ бесконечно, то можно найти бесконечную последовательность $m_0, m_1, \ldots$ различных элементов из $M$. Пусть теперь

$$
K = \{ m_0, m_2, m_4, \ldots \}
$$

и

$$
L = \{ m_1, m_3, m_5, \ldots \}.
$$

Пусть также

$$
Y = \{ k \cup L : k \subseteq K \}.
$$

Каждый $y \in Y$ является бесконечным подмножеством $M$ и, значит, $Y \subseteq \mathcal{P}_{\mathrm{inf}}(M)$.

Пусть

$$
k_1 = \{ m_{2i} : i < n,\, m_{2i} \not\in x_{i +1} \},
$$

$$
k_2 = \{ m_{2(n+i)} : i \in \mathbb{N},\, m_{2(n+i)} \not\in m_i \}
$$

и

$$
y = k_1 \cup k_2 \cup L.
$$

Так как $k_1 \cup k_2 \subseteq K$, то $y \in Y$ и $y \in \mathcal{P}_{\mathrm{inf}}(M)$. Значит, либо $y \in X$, либо $y \in y$.

Однако если $y \in X$, то $y = x_{i+1}$ для некоторого $i<n$. Но тогда

$$
m_{2i} \in y \Leftrightarrow m_{2i} \in k_1 \Leftrightarrow m_{2i} \not\in x_{i+1}
$$

и $y \neq x_{i+1}$. Противоречие. Если же $y \in y$, то $y = m_j$ для некоторого $j \in \mathbb{N}$ и

$$
m_{2(n+j)} \in y \Leftrightarrow m_{2(n+j)} \in k_2 \Leftrightarrow m_{2(n+j)} \not\in m_j,
$$

так что $y \neq m_j$. Опять противоречие!

P. S. В заключение присоединяюсь к пожеланию Brukvalub: не читайте плохих книжек!!!

 Профиль  
                  
 
 Re: О множестве, которое содержит само себя в качестве элемента
Сообщение09.07.2011, 14:56 
Аватара пользователя


21/01/10
146
А можно ли в пределах аксиом объёмности, пары, выделения, объединения и бесконечности доказать, что не существует множество содержащее само себя?
Контекст такой. Я доказываю, что $x^+=y^+ \implies x=y$, используя вышеперечисленные аксиомы ($x$, $y$ - элементы множества натуральных чисел по фон Нейману, $x^+=x \cup \{x\}$).
Предположим $x \neq y$. Тогда $\exists a \in x, a \notin y$ (по аксиоме объёмности).
$a \in x \implies a \in  x \cup \{x\}$ (по аксиоме объединения) $\implies a \in y \cup \{y\}$, но $a \notin y \implies a \in \{y\} \implies a = y$.
Получили, что $x \cup \{x\} = a \cup \{a\}$, $a \in x$.
Из этого равенства следует, что $\forall y \in x \cup \{x\}, y \in a \cup \{a\}$. Возьмём $y = x \implies x \in a \cup \{a\}$.
Рассмотрим два варианта: $x \in \{a\}$ и $x \in a$.
В первом случае $x \in \{a\} \implies x = a$, во втором $x \in a$ и $a \in x$.
Не могу пока понять как показать противоречивость обоих вариантов без аксиомы регулярности. Или здесь нужно показать невозможность существования такого $a$ из построения элементов множества?

 Профиль  
                  
 
 Re: О множестве, которое содержит само себя в качестве элемента
Сообщение11.08.2011, 22:17 
Заморожен
Аватара пользователя


18/12/07
8774
Новосибирск
ean в сообщении #466769 писал(а):
А можно ли в пределах аксиом объёмности, пары, выделения, объединения и бесконечности доказать, что не существует множество содержащее само себя?

Думаю, что можно доказать метатеорему о том, что в пределах перечисленных аксиом невозможно доказать существование множества, содержащего самого себя. Если мы теперь признаём существующими лишь те множества, существование которых можно доказать, то всё Ok :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: О множестве, которое содержит само себя в качестве элемента
Сообщение16.09.2011, 14:53 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/09/06
10834
ean в сообщении #466769 писал(а):
А можно ли в пределах аксиом объёмности, пары, выделения, объединения и бесконечности доказать, что не существует множество содержащее само себя?
Думаю, что нельзя. И опровергается сия возможность контрпримером: упомянутым Dan B-Yallay выше по теме перечнем, содержащим себя (просто замените слово "перечень" на слово "множество"). Таковой перечень:
1) Может быть вполне конечным, так что даже не обязательно вспоминать про аксиому бесконечности.
2) Не является чем-либо противоречивым (если только мы не приняли аксиомы регулярности и таким образом не запретили перечням перечислять самих себя).

 Профиль  
                  
 
 Re: О множестве, которое содержит само себя в качестве элемента
Сообщение01.01.2012, 11:50 


06/07/11
192
А какой у множества, содержащего себя ранг ? Какая-то беда с основанием.
Попутно хотелось бы понять, какой ранг у счетно бесконечного множества, вроде бы счетно бесконечный, тогда в нем должен быть элемент бесконечного ранга, может ли этот элемент быть равен самому множеству ? Иначе говоря, можно ли без аксиомы регулярности опровергнуть, что в множестве, существование которого утверждает аксиома бесконечности, нет равного ему элемента ?

 Профиль  
                  
 
 Re: О множестве, которое содержит само себя в качестве элемента
Сообщение01.01.2012, 12:08 
Заблокирован
Аватара пользователя


21/04/06

4930
Ух ты! Похоже, что с чистого листа начинать надо.

 Профиль  
                  
 
 Re: О множестве, которое содержит само себя в качестве элемента
Сообщение09.04.2012, 20:33 


25/11/11
6
Извините меня конечно за тупость. Но можно на примере про аксиому регулярности?
Вот есть у меня множество, ну пусть натуральных чисел. Каким будет для него будет элемент y, что $y \in x$, но $y \cap x =  \varnothing$. Или логика такова, что ответ любое число. ибо $6 \cap N = \varnothing$ , потому что 6 это не множество, состоящее из 6-ки, а просто элемент, т.е. $6 \not = \{6\}$ ?
Извините за сумбурность

 Профиль  
                  
 
 Re: О множестве, которое содержит само себя в качестве элемента
Сообщение10.04.2012, 12:45 
Заморожен
Аватара пользователя


18/12/07
8774
Новосибирск
kaplansky в сообщении #558461 писал(а):
Вот есть у меня множество, ну пусть натуральных чисел. Каким будет для него будет элемент y, что $y \in x$, но $y \cap x =  \varnothing$.

$y = \varnothing$.

Формально натуральный ряд определяется так:

$0 = \varnothing$
$1 = \{ 0 \}$
$2 = \{ 0,1 \}$
...
$n+1 = \{ 0,1, \ldots, n \}$
...

$\mathbb{N} = \{ 0,1,2,3, \ldots \}$.

-- Вт апр 10, 2012 15:48:10 --

Вообще, для любого $n \in \mathbb{N}$ справедливо $n \subseteq \mathbb{N}$ и $n \cap \mathbb{N} = n$ :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: О множестве, которое содержит само себя в качестве элемента
Сообщение10.04.2012, 13:18 


25/11/11
6
Ок, это всё понятно. Но каков же тогда будет элемент $y$ искомый ?

 Профиль  
                  
 
 Re: О множестве, которое содержит само себя в качестве элемента
Сообщение10.04.2012, 13:21 
Заморожен
Аватара пользователя


18/12/07
8774
Новосибирск
kaplansky в сообщении #558613 писал(а):
Ок, это всё понятно. Но каков же тогда будет элемент $y$ искомый ?

Ну как, $y = 0$. Я же написал!

 Профиль  
                  
 
 Re: О множестве, которое содержит само себя в качестве элемента
Сообщение10.04.2012, 16:22 


25/11/11
6
ух как! ясно, с этим примером понял, спасибо, буду думать.

 Профиль  
                  
 
 Re: О множестве, которое содержит само себя в качестве элемента
Сообщение12.10.2012, 18:47 


12/10/12
2
Простейший пример-множество всех множеств.Поскольку множество всех множеств является само по себе множеством,то оно содержит себя в качестве своего элемента :D

 Профиль  
                  
 
 Пенроуз
Сообщение06.11.2012, 21:17 


04/10/05
272
ВМиК МГУ
Brukvalub в сообщении #106016 писал(а):
Dialectic писал(а):
Определим множество М - как множество состоящее из всех бесконечных множеств.
Рассмотрение таких множеств как раз и приводит к противоречиям, поэтому в аксиоматических теориях их запрещено рассматривать (о чем Вам писали выше). Просто Пенроуз плохо учил теорию множеств, вот и оконфузился.

Так-с... Не надо трогать Пенроуза. Он хороший :)
Существование такого множества в той книге он нигде не утверждал, а просто пояснил примером, что содержащие себя множества тоже очень хотелось бы рассматривать. Обвинять Пенроуза в незнании теории множеств - это уж слишком!

Профессор Снэйп в сообщении #106123 писал(а):
P. S. В заключение присоединяюсь к пожеланию Brukvalub: не читайте плохих книжек!!!

Может быть и есть какие-то научно-популярные книжки, написанные выдающимися учёными, которые не стОит читать, но Пенроуз к ним точно не относится. Пенроуза определённо стОит читать! Это же настоящий математик, который одновременно физик - редкое явление, и это сразу видно по его книгам, ко многим вопросам по части физической реальности у него намного более разумный взгляд, чем обычно пропагандируется физиками-теоретиками.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 28 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group