Система неравенств с целыми числами

[nnosipov]

Пусть $-2z+3<x^2-(z^2-2)y^2<2z+3$, где $x$, $y$, $z$ --- целые числа. Докажите, что число $x^2-(z^2-2)y^2$ есть либо точный квадрат, либо удвоенный точный квадрат.

[RIP]

Небось, вариация на эту тему? (Ещё здесь что-то подобное обсуждалось.) (Мне самому думать лень.)

[nnosipov]

RIP, да, это оно. Завтра у меня доклад на нашем семинаре-междусобойчике по компьютерной алгебре, вот я и вспомнил про этот сюжет. Собственно, интерес есть скорее к уравнению Пелля-Абеля, но для начала решили просто с Пеллем разобраться.

Не могу понять, как подобные результаты получать с помощью цепных дробей. Для уравнения $x^2-Ay^2=B$ всё более-менее понятно, если $|B|<\sqrt{A}$: здесь решения обеспечиваются подходящими дробями к $\sqrt{A}$. А что происходит в случае больших $|B|$?

[rightways]

Найдите все тройки натуральных чисел $(a,b,c)$ для которых

$$1<(2a+3)b^2-\frac{c^2-1}{2a-1}<2$$