Помогите доказать

[Riddick]

Доброго времени суток. Требуется доказать равенство. Как можно раскрыть сумму?

$ t_I+(1-p)* $$\sum\limits_{i=1}^\infty i*p^i*t_T = t_I* \frac{1+(a-1)*p} {1-p} , a = \frac{t_T}{t_I}

[Echo-Off]

Задача сводится к суммированию ряда

$$\sum\limits_{n=1}^{\infty}np^n=p\sum\limits_{n=1}^{\infty}np^{n-1}$$

. Это можно сделать, просуммировав ряд

$$\sum\limits_{n=1}^{\infty}p^n$$

, а затем почленно продифференцировав полученную функцию по $p$.

[Riddick]

Echo-Off писал(а):

просуммировав ряд

$$\sum\limits_{n=1}^{\infty}p^n$$

Непонятно причем тут этот ряд? В нём же нету n

Echo-Off писал(а):

, а затем почленно продифференцировав полученную функцию по $p$.

Что даст дифференцирование? Как я понимаю, необходимо применить к сумме какой-то оператор (может быть её предел найти?), чтобы от неё избавиться[/b]

[Echo-Off]

Riddick писал(а):

Непонятно причем тут этот ряд? В нём же нету n

В том ряде, что я написал, как раз таки $n$ имеется. Наверно, Вы имели ввиду, что в Вашем выражении нету этой буковки. Поэтому предлагаю Вам задачу.

Задача:

Выражение

$$t_I+(1-p)\sum\limits_{i=1}^\infty ip^it_T$$

свести к

$$A+B\sum\limits_{n=1}^np^n$$

(надеюсь, я правильно понял, что звёздочка в Ваших выражениях означает умножение, а не свёртку?)

Цитата:

Что даст дифференцирование?

Дифференцирование одного члена $p^n$ даст один член $np^{n-1}$. Дифференцирование ряда из таких членов даст ряд из таких членов (по-хорошему, надо ещё обосновать почему; однако степенной ряд внутри круга сходимости дифференцировать можно).

[Riddick]

После преобразований тождества, у меня получилось:
$\sum\limits_{i=1}^\infty ip^i = 1 - p$

Проверил ряд на сходимость признаком Даламбера - сходится. ЧТо дальше делатЬ????

[Бодигрим]

Хм, как-то у вас странно получилось. Например, при $p=1/2$ из вашего равенства следует $\sum_{i=1}^\infty i/2^i = 1/2$. Но очевидно, что $\sum_{i=1}^\infty i/2^i > 1/2$. И где именно ваш ряд сходится по признаку Даламбера? Явно ведь не на всем $\mathbb{R}$.

А когда найдете правильное замкнутое выражение для ряда, его неплохо бы подставить в доказываемое утверждение. Иначе зачем бы мы его искали?

[Riddick]

В конце концов решил задачу, разложив функцию слева в ряд по Маклорену и получив таким образом имеющийся ряд. Всем пытавшимся помочь СПАСИБО

[bot]

Riddick писал(а):

В конце концов решил задачу, разложив функцию слева в ряд по Маклорену

Теряюсь в догадках ...