Что больше

[dchnick]

Что больше: $\sqrt{3}^{\sqrt{2}}$ или $\sqrt{2}^{\sqrt{3}}$
Возникла в принципе достаточно стандартная идея:
Если
$\sqrt{3}^{\sqrt{2}}>\sqrt{2}^{\sqrt{3}}$, то, поскольку обе части положительны, возведем их в квадрат:
$3^{\sqrt{2}}>2^{\sqrt{3}}$.
Далее есть мысль возвести обе части в степень $\sqrt{2}$, откуда получим:
$3^2>2^{\sqrt{6}}$, что действительно выполняется, поскольку $3^2=9$, а $4<2^{\sqrt{6}}<8$, то есть $\sqrt{3}^{\sqrt{2}}>\sqrt{2}^{\sqrt{3}}$
Справедливо ли возводить в иррациональную степень обе части неравенства?

[ИСН]

Ну а кто ж мешает-то? Функция монотонна? Значит, ОК.

[dchnick]

ИСН в сообщении #1058396 писал(а):

Ну а кто ж мешает-то? Функция монотонна? Значит, ОК.

Спасибо!

[ET]

Для таких задач есть еще более стандартная идея: возвести все в степень $\frac{1}{\sqrt{6}}$ и исследовать на монотонность на нужном промежутку очевидно возникающую здесь функцию $x^{\frac1x}$
Например, есть известная задача на сравнение $e^{\pi}$ и $\pi^e$