2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Что больше
Сообщение02.10.2015, 11:33 
Что больше: $\sqrt{3}^{\sqrt{2}}$ или $\sqrt{2}^{\sqrt{3}}$
Возникла в принципе достаточно стандартная идея:
Если
$\sqrt{3}^{\sqrt{2}}>\sqrt{2}^{\sqrt{3}}$, то, поскольку обе части положительны, возведем их в квадрат:
$3^{\sqrt{2}}>2^{\sqrt{3}}$.
Далее есть мысль возвести обе части в степень $\sqrt{2}$, откуда получим:
$3^2>2^{\sqrt{6}}$, что действительно выполняется, поскольку $3^2=9$, а $4<2^{\sqrt{6}}<8$, то есть $\sqrt{3}^{\sqrt{2}}>\sqrt{2}^{\sqrt{3}}$
Справедливо ли возводить в иррациональную степень обе части неравенства?

 
 
 
 Re: Что больше
Сообщение02.10.2015, 11:46 
Аватара пользователя
Ну а кто ж мешает-то? Функция монотонна? Значит, ОК.

 
 
 
 Re: Что больше
Сообщение02.10.2015, 11:48 
ИСН в сообщении #1058396 писал(а):
Ну а кто ж мешает-то? Функция монотонна? Значит, ОК.

Спасибо!

 
 
 
 Re: Что больше
Сообщение02.10.2015, 12:47 
Для таких задач есть еще более стандартная идея: возвести все в степень $\frac{1}{\sqrt{6}}$ и исследовать на монотонность на нужном промежутку очевидно возникающую здесь функцию $x^{\frac1x}$
Например, есть известная задача на сравнение $e^{\pi}$ и $\pi^e$

 
 
 [ Сообщений: 4 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group