Кривые второго порядка.

[Brukvalub]

Munin в сообщении #1058120 писал(а):

Brukvalub
А в смысле сферы Римана (aka комплексной проективной прямой) какие из них эквивалентны?

Подозреваю, что такая постановка вопроса не естественна: непонятно, как записать в комплексных координатах уравнения этих кривых (т.е. как задать эти кривые в виде множества нулей комплексных многочленов).

[Munin]

Угу, я и сам понял, что неестественна :-) Но понадеялся на вашу эрудицию.
(Кривые нельзя задать многочленами, поскольку комплексный многочлен, очевидно, имеет конечное число нулей. Для задания таких кривых неизбежно придётся использовать какую-нибудь "нехорошую" операцию, причём достаточно использовать комплексное сопряжение. Оно неаналитическое :-)

[Nemiroff]

А разве все кривые не сводятся на комплексной проективной к трём случаям:
$X^2+Y^2+Z^2=0$
$X^2+Y^2=0$
$X^2=0$
Ну как бы всё остальное можно "замести" куда-нибудь?

[Brukvalub]

Munin в сообщении #1058150 писал(а):

Кривые нельзя задать многочленами, поскольку комплексный многочлен, очевидно, имеет конечное число нулей

Комплексный многочлен нескольких переменных имеет "много-премного" не изолированных нулей, которые сливаются в классический объект алгебраической геометрии: "алгебраическое многообразие".

Nemiroff в сообщении #1058155 писал(а):

А разве все кривые не сводятся на комплексной проективной к трём случаям:
$X^2+Y^2+Z^2=0$
$X^2+Y^2=0$
$X^2=0$
Ну как бы всё остальное можно "замести" куда-нибудь?

Как "замести"?

[Nemiroff]

Ну комплексную квадратичную форму к диагональной с единичками и ноликами же можно привести.

[Brukvalub]

Это верный факт, только как он связан с группой автоморфизмов одномерной комплексной плоскости? Может, он как-то и связан, но давайте сначала опишем эту группу...

[Nemiroff]

Дробно-линейные же. Или автоморфизмы относительно чего именно вы хотите найти?

Я, может, о чём-то не о том подумал.
Я как это понимаю: линия второго порядка на проективной плоскости --- это множество точек, удовлетворяющее
$aX^2+bY^2+cZ^2+2dXY+2eXZ+2fYZ=0$, где $[X:Y:Z]$ --- проективные координаты.
Ну так вот, берём теперь квадратичную форму из коэффициентов и приводим к нормальному виду. В вещественном случае получается пять вариантов, а в комплексном --- три.

[Brukvalub]

Возможно, это и есть нужный Munin-у ответ.

[Munin]

Brukvalub в сообщении #1058158 писал(а):

Комплексный многочлен нескольких переменных имеет "много-премного" не изолированных нулей

Ну, я не знаю, где вы собираетесь взять несколько переменных, если речь идёт о комплексной плоскости одной переменной $\mathbb{C}^1.$ Но спасибо за то, что просветили меня.

Brukvalub в сообщении #1058185 писал(а):

Возможно, это и есть нужный Munin-у ответ.

Если вы такое допускаете, то вы не поняли (или не удосужились прочитать) вопрос.

[Brukvalub]

Munin, для начала не нужно спрашивать глупости. Я уже спрашивал вас, как вы собирались задавать на сфере Римана кривые второго порядка, вы не смогли ответить. Ответьте сейчас.

[Munin]

Задам для начала окружность с центром в точке $z_0$: $(z-z_0)\overline{z-z_0}=r^2.$
Теперь, надеюсь, вы удосужитесь прочитать мой вопрос, целиком и буквально, без misreading-ов типа многомерного комплексного пространства, или проективной плоскости вместо комплексной проективной прямой.

[Brukvalub]

Munin в сообщении #1058225 писал(а):

Задам для начала окружность с центром в точке $z_0$: $(z-z_0)\overline{z-z_0}=r^2.$

Munin, сообщаю вам (вы будете удивлены!), что кривые второго порядка не исчерпываются окружностями. Нужно, для начала, задать на сфере Римана эллипс, гиперболу и параболу. На всякий случай, здесь вы сможете найти нужные определения.
Надеюсь, попробовав задать требуемое, вы прекратите задавать бессмысленные вопросы.

[Munin]

Жаль. Я к вам как к человеку обратился, а вы издеваться решили.

Извольте, эллипс/гипербола: $a^2(\operatorname{Re}z)^2\pm b^2(\operatorname{Im}z)^2=1,$ парабола $a^2(\operatorname{Re}z)^2=\operatorname{Im}z,$ где $2\operatorname{Re } z=z+\overline{z}, \; 2 \operatorname{Im } z =z- \overline{z} .$

Но ответа мне от вас больше не нужно (нашлись другие, кто понял вопрос, а возможно, и его подвох, и подумали над ответом), а вы просто показали себя сволочью.

[Lia]

Brukvalub
Замечание за провокацию флейма.

Munin
Предупреждение за оскорбление.

[ewert]

Brukvalub в сообщении #1058059 писал(а):

Для справки: эллипс, гипербола и парабола проективно эквивалентны,

Для справки: все посты, начиная с этого, до сих пор почему-то так и не отделены в отдельную ветку...