Кривые второго порядка.

[karandash_oleg]

1) Расклассифицируйте (в зависимости от значения параметра a) кривые, заданные уравнением: а) $x^2 + 2xy + ay^2 = 1$; б) $(x + y)^2 = 1 + ay$.]

2) Расклассифицируйте (в зависимости от значения параметра a) кривые, заданные уравнением $x^2 + xy + y^2 − 3y = a$.

У меня есть идея взять и сделать поворот $x' = x \cos \theta \mp y \sin \theta\,,y' = \pm x \sin \theta + y \cos \theta\,$

А сделать его, чтобы избавиться от члена с произведением $xy$, а далее помощью сдвига избавиться от членов с $x$ и $y$, потом получим кривую второго порядка или что-либо еще.

Но вот в первом случае угол поворота зависит от параметра, потому это очень громоздко. Во второй задаче -- тоже очень громоздко.

Ведь не нужно тут приводить к каноническому виду, можно ли как-то без рутинных вычислений произвести классификацию?

-- 30.09.2015, 02:21 --

В пункте a) очевидно, что при $a=1$ получаем пару параллельных прямых. Для других $a$ уже сложнее.

Выделяю полный квадрат в 1a

$x^2 + 2xy + ay^2 = 1$

$(x+y)^2+ (a-1)y^2 = 1$

Но это, вроде как, бессмысленно, потому как произведение $xy$ все равно присутствует.

В 1б

$(x + y)^2 = 1 + ay$

$x^2+2xy+y^2-ay = 1$

$x^2+2xy+y^2-ay+\frac{a^2}{4}-\frac{a^2}{4} = 1$

$x^2+2xy+(y-0,5a)^2=1+0,25a^2$

Но это, вроде как, бессмысленно, потому как произведение $xy$ все равно присутствует.

2a

$x^2 + xy + y^2 − 3y = a$.

$x^2+xy+(y-1,5)^2=a+2,25$

Но это, вроде как, бессмысленно, потому как произведение $xy$ все равно присутствует.

[iifat]

Стесняюсь спросить, не пробовали ль вы почитать чего-нить предварительно? Первая ссылка в поиске Яндекса ведёт на русскую Википедию, в которой есть все ответы на ваши вопросы. Я не предлагаю вам прочитать все 10 млн ссылок, что он возвращает, но хотя бы пять...

[ewert]

karandash_oleg в сообщении #1057774 писал(а):

В пункте a) очевидно, что при $a=1$ получаем пару параллельных прямых. Для других $a$ уже сложнее.

Для других есть такое понятие, как дискриминант квадратичного выражения, но дело не в этом. А в том, что тип кривой не меняется при линейном преобразовании. Вот и уберите $xy$ подходящей заменой, т.е. выделением полного квадрата. Особенно легко он выделяется в п. б).

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- отсутствуют собственные содержательные попытки решения задач(и).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Deggial]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Возвращено

[bot]

ewert в сообщении #1057799 писал(а):

Вот и уберите $xy$ подходящей заменой, т.е. выделением полного квадрата.

Дык, в п.а он это проделал, но вывода не сделал

karandash_oleg в сообщении #1057774 писал(а):

Но это, вроде как, бессмысленно

[karandash_oleg]

$x^2 + 2xy + ay^2 = 1$

$(x+y)^2+ (a-1)y^2 = 1$

Ну нельзя же взять $z=x+y$, а потом $z^2+(a-1)y^2=1$ и при $a>1$ эллипс, при $a<1$ гипербола.

Как-то слишком это просто, потому неправдоподобно.

[Munin]

Почему нельзя? Это что, неправильный ответ?

[provincialka]

karandash_oleg в сообщении #1057855 писал(а):

Как-то слишком это просто, потому неправдоподобно.

Как раз в этом ваша проблема: вы не доверяете себе. Именно так и надо решать!

[Brukvalub]

А какая классификация рассматривается: проективная, аффинная, ортогональная или еще какая?

[ewert]

(Оффтоп)

Brukvalub в сообщении #1057870 писал(а):

А какая классификация рассматривается: проективная, аффинная, ортогональная или еще какая?

Ни та, ни другая, ни третья и даже ни ещё какая. А попросту -- тупо гиперболы, параболы, эллипсы или ещё чего. (ну некоторые зануды присовокупляют к ним ещё и окружности, но это уж воистину совокупление, т.е.)

-- Чт окт 01, 2015 00:22:09 --

(Оффтоп)

bot в сообщении #1057839 писал(а):

Дык, в п.а он это проделал, но вывода не сделал

для п. а) он сделал это уже опосля; но главное не в этом.

[Munin]

(Оффтоп)

ewert в сообщении #1057998 писал(а):

ну некоторые зануды присовокупляют к ним ещё и окружности

Зануды присовокупляют точку, прямую и две прямых, а особенные зануды - ещё и пустое множество (аж в двух разновидностях). А окружность есть эллипс, и я не видел никого, кто бы упоминал её отдельно.

[ewert]

(Оффтоп)

Munin в сообщении #1058011 писал(а):

А окружность есть эллипс, и я не видел никого, кто бы упоминал её отдельно.

Бавають и странные товаристчи. Хотя в данных конкретных случаях эта особа вроде и не замечалась. Но это, скорее всего, случайность. А так -- бавають.

[Brukvalub]

ewert в сообщении #1057998 писал(а):

Brukvalub в сообщении #1057870

писал(а):
А какая классификация рассматривается: проективная, аффинная, ортогональная или еще какая?
Ни та, ни другая, ни третья и даже ни ещё какая. А попросту -- тупо гиперболы, параболы, эллипсы или ещё чего. (ну некоторые зануды присовокупляют к ним ещё и окружности, но это уж воистину совокупление, т.е.)

Для справки: эллипс, гипербола и парабола проективно эквивалентны, поэтому при проективной классификации "тупо гиперболы, параболы, эллипсы" - неразличимы.

[Munin]

Brukvalub
А в смысле сферы Римана (aka комплексной проективной прямой) какие из них эквивалентны?