Суммарный объем случайно расположенных пересекающихся сфер.

[Gickle]

День добрый, господа. Помогите найти решение следующей задачи. Сам решить не могу, до моделирования сейчас руки не дойдут, а найти в Интернете что-то не удалось.

Пусть есть некоторая область объёма $ V $. Мы заполняем её случайным образом пересекающимися сферами объёма $ V_{sp} \ll V $ (пусть для простоты система является монодисперсной). Заполнение идёт до тех пор, пока пористость $ \varphi = \frac {V_{sum}} {V} $ не достигнет некоторого заданного значения $ \varphi_0 $ (под $ V_{sum} $ подразумевается, конечно, суммарный объём сфер). Вопрос: какое количество сфер $ N $ будет в итоге раскидано? Естественно, имеется в виду $ \langle N \rangle $ (хотя интересно было бы и про статистические отклонения узнать, коль скоро реально речь будет идти о конечноразмерных системах).

В общем, если у кого есть источник на какую-нибудь статью, книгу, где есть ответ на поставленный вопрос, или если кто сам захочет и сможет решить, буду очень сильно признателен. Заранее благодарю.

[venco]

Смотреть на формулу включений-исключений, и учитывать аддитивность матожиданий. Наверное, этого будет достаточно.

[Gickle]

Если кому вдруг понадобится, вроде как нашёл уже правильный ответ:

$ \varphi_0 = 1 - \exp(- \frac {V_{sp} \cdot N} {V}) $

Ответ приведён в M.B. Isichenko. Percolation, statistical topography, and transport in random media. Rev. Mod. Phys. 64, 961, 1992 со ссылкой на статью Vinod K.S. Shante & Scott Kirkpatrick (1971) An introduction to percolation theory, Advances in Physics, 20:85, 325-357. В последней, правда, говорится о случае вблизи критической точки, но Исиченко об этом ничего не упоминает, поэтому я лично склонен верить в правдивость в более-менее общем случае. К тому же при малых значениях аргумента экспоненты, что реально будет соответствовать тому, что сферы будут пересекаться крайне редко, формула вполне логично переходит в выражение для твёрдых сфер.