2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Суммарный объем случайно расположенных пересекающихся сфер.
Сообщение30.09.2015, 23:02 
Заслуженный участник


29/12/14
504
День добрый, господа. Помогите найти решение следующей задачи. Сам решить не могу, до моделирования сейчас руки не дойдут, а найти в Интернете что-то не удалось.

Пусть есть некоторая область объёма $ V $. Мы заполняем её случайным образом пересекающимися сферами объёма $ V_{sp} \ll V $ (пусть для простоты система является монодисперсной). Заполнение идёт до тех пор, пока пористость $ \varphi = \frac {V_{sum}}  {V} $ не достигнет некоторого заданного значения $ \varphi_0 $ (под $ V_{sum} $ подразумевается, конечно, суммарный объём сфер). Вопрос: какое количество сфер $ N  $ будет в итоге раскидано? Естественно, имеется в виду $ \langle N \rangle $ (хотя интересно было бы и про статистические отклонения узнать, коль скоро реально речь будет идти о конечноразмерных системах).

В общем, если у кого есть источник на какую-нибудь статью, книгу, где есть ответ на поставленный вопрос, или если кто сам захочет и сможет решить, буду очень сильно признателен. Заранее благодарю.

 Профиль  
                  
 
 Re: Суммарный объем случайно расположенных пересекающихся сфер.
Сообщение01.10.2015, 00:08 
Заслуженный участник


04/05/09
4582
Смотреть на формулу включений-исключений, и учитывать аддитивность матожиданий. Наверное, этого будет достаточно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Суммарный объем случайно расположенных пересекающихся сфер.
Сообщение01.10.2015, 10:07 
Заслуженный участник


29/12/14
504
Если кому вдруг понадобится, вроде как нашёл уже правильный ответ:

$ \varphi_0 = 1 - \exp(- \frac {V_{sp} \cdot N} {V}) $

Ответ приведён в M.B. Isichenko. Percolation, statistical topography, and transport in random media. Rev. Mod. Phys. 64, 961, 1992 со ссылкой на статью Vinod K.S. Shante & Scott Kirkpatrick (1971) An introduction to percolation theory, Advances in Physics, 20:85, 325-357. В последней, правда, говорится о случае вблизи критической точки, но Исиченко об этом ничего не упоминает, поэтому я лично склонен верить в правдивость в более-менее общем случае. К тому же при малых значениях аргумента экспоненты, что реально будет соответствовать тому, что сферы будут пересекаться крайне редко, формула вполне логично переходит в выражение для твёрдых сфер.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 3 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group