Определение метрического тензора

[tibon]

Munin в сообщении #1057386 писал(а):

Это квадратичная форма. В евклидовом случае - положительно определённая. Суть её - в том, что на сколько вы отступаете от данной точки в данном направлении, столько получаете квадрат длины. (В бесконечно малой окрестности, иначе - интегрировать такие бесконечно малые шажки.) Длина не зависит от систем координат, поэтому если вы зафиксировали две точки, вычислили между ними длину, а потом сделали замену координат (в бесконечно малой окрестности, это будет линейная замена), то квадратичная форма изменится соответственно, чтобы длина осталась та же. Таким образом, всё многообразие у вас оказывается "размечено" длинами между точками, и эта разметка (собственно метрика) не меняется, какие бы координаты не использовать. Если хотите вычислять ещё что-то не меняющееся от координат, то вам приходится выражать это через метрику, и после этого, вычислять, опираясь на метрический тензор.

То есть, с изменением координат меняется тензор $g_{ij}$, но таким образом, что беря старые вектора в новых координатах, их скалярное произведение (определённое через свёртку с метрическим тензором), не изменится?

Munin в сообщении #1057386 писал(а):

Пример. Допустим, вам нужно вычислить угол между прямыми на плоскости, в любых криволинейных с.к. Заметим, что угол выражается через длины по теореме косинусов. Таким образом, надо взять направляющие векторы двух прямых, их длины, и расстояние между их концами, и тогда можно вычислить косинус искомого угла.

Ещё пример. Допустим, нужно вычислить площадь треугольника на плоскости. Угол мы уже знаем, а площадь вычисляется через две стороны и синус угла.

И так далее. Через длины, углы и площади вычисляется всё, что угодно, на плоскости. В 3-мерном пространстве аналогично вычисляется объём. В $n$-мерном - $n$-объём.

В физике также очень важен вариант псевдометрики, когда квадратичная форма $g_{ij}$ не положительно-определённая, а имеет сигнатуру $(n,1)$ или $(1,n)$ (для физики это не важно). Здесь в бесконечно-малых окрестностях возникает не евклидова геометрия, а геометрия Минковского. Но главное свойство сохраняется: вычисление через псевдометрический тензор даёт такую "разметку", которая не меняется от систем координат, и через неё можно вычислять любые другие истинно геометрические величины. (P. S. Физики обычно опускают приставку "псевдо-".)

То есть, в силу того, что косинус угла у нас выражается по теореме косинусов через длины - он у нас не будет изменяться при преобразованиях координат?

Munin в сообщении #1057386 писал(а):

Покороче, и при этом достаточно для физики, - это
Ландау, Лифшиц. Теория поля.
§§ 6, 83-86, 91-92. Или несколько подробней:
Вайнберг. Гравитация и космология.
гл. 3 §§ 2-3, гл. 4, гл. 6. Или ещё подробней, но всё ещё с точки зрения физики:
Мизнер, Торн, Уилер. Гравитация.
т. 1 гг. 2-4, 8-11, 13-14.

Спасибо за книги!
Ландау читал раньше, сейчас перечитал и вместе с обсуждением тут и просмотром другой литературы уложилось получше.
Остальные книги не знал (так как космологию не смотрел до этого вообще), но нашёл много полезного в указанных вами главах. Конечно, времени было немного, а объём материала достаточно внушительный - но какие-то вещи для себя усвоил, а дальше буду по мере потребностей изучать глубже. Кстати, в них как раз определяется $g_{ij}$ через

$$ g_{ij} = \frac{\partial \xi^{k}}{\partial x_{i}} \frac{\partial \xi^{l}}{\partial x_{j}} \eta_{kl}, $$

где $\eta_{kl}$ - тензор "метрических коэффициентов", диагональная матрица 4х4, у которой элемент равен -1 при $k = l = 0$, 1 при $k = l \neq 0$ и 0 при $k \neq l$.
К слову, я посмотрел некоторые главы (в основном второй том про двойственные пространства и тензоры) из трёхтомника Кострикина по алгебре. Какие-то мысли постарался ухватить, но объём, опять же, весьма большой, поэтому лишь только постарался вдумчиво прочитать.

arseniiv
Что значит "совместимое с $g_{ij}$"? Такое, что при свёртке получаем символ Кронекера

arseniiv в сообщении #1057447 писал(а):

И вот у нас вдруг явилось скалярное произведение. Мы можем смотреть на него как на функцию от двух векторов, а можем один вектор туда подставить, а со вторым подождать: $(\mathbf u, \ldots)$.

Что значит "подождать"? Рассмотреть функцию от одного аргумента? А как скалярное произведение можно рассматривать от одного аргумента?

Кстати, такой вопрос еще - не до конца понимаю сути двойственного пространства. Что, если его не вводить, а просто "скалярно перемножать" два контравектора? Получим структуру, которая не будет инвариантной? Почему?

[Munin]

tibon в сообщении #1057737 писал(а):

То есть, с изменением координат меняется тензор $g_{ij}$, но таким образом, что беря старые вектора в новых координатах, их скалярное произведение (определённое через свёртку с метрическим тензором), не изменится?

Да.

Одно уточнение: меняются компоненты (координаты) тензора. Про сам тензор говорят, что он не меняется, потому что сам тензор - это тоже некая "внекоординатная" геометрическая сущность.

tibon в сообщении #1057737 писал(а):

То есть, в силу того, что косинус угла у нас выражается по теореме косинусов через длины - он у нас не будет изменяться при преобразованиях координат?

В силу того, что косинус угла выражается через длины - он становится частью той геометрии, которая "привязана" к метрике.

Есть разные геометрии. Разные её, так сказать, "слои". Ну, грубо говоря:
- есть геометрия, для которой важны только близости точек друг к другу. Здесь можно определить понятие "размерность", понятие "линия" ("кривая"), говорить о том, что линия делит плоскость на две области, какие-то точки лежат по одну сторону, а какие-то по другую, и так далее. Это топология.
- есть геометрия, для которой есть такой объект, как "прямая". Здесь ещё нет углов и расстояний, но можно найти середину отрезка. Можно взять параллельную проекцию одной прямой на другую, и таким образом, перенести на другую прямую деление в заданном отношении. Это аффинная геометрия.
- и наконец, есть геометрия, в которой введено расстояние. Отсюда автоматически возникают углы, площади, и окружности. Это евклидова геометрия. (В более общем смысле, метрическая.)

То, что рассказывали в школе - это сумма фактов одной, другой и третьей геометрий. А надо их научиться разделять у себя в голове. В то же время, углы относятся к метрическому "слою", они от него неотделимы. (Их можно ввести раньше, но нельзя - позже. Если вы вводите расстояния, то у вас автоматически получаются и углы.)

tibon в сообщении #1057737 писал(а):

Кстати, в них как раз определяется $g_{ij}$ через

$$ g_{ij} = \frac{\partial \xi^{k}}{\partial x_{i}} \frac{\partial \xi^{l}}{\partial x_{j}} \eta_{kl}, $$

Ну да. Но заметьте, это вполне аккуратная формула. В ней всё на месте, и нет ничего непонятного.

tibon в сообщении #1057737 писал(а):

Что значит "подождать"? Рассмотреть функцию от одного аргумента? А как скалярное произведение можно рассматривать от одного аргумента?

Если в функции двух аргументов зафиксировать один аргумент, то можно это сочетание "функция + конкретное значение аргумента" рассматривать как функцию второго аргумента.

tibon в сообщении #1057737 писал(а):

Кстати, такой вопрос еще - не до конца понимаю сути двойственного пространства. Что, если его не вводить, а просто "скалярно перемножать" два контравектора? Получим структуру, которая не будет инвариантной? Почему?

Дело вот в чём. Как я уже сказал, бывают разные уровни геометрии. И на некотором уровне у нас ещё нет метрики. И с этим сопряжено ещё одно неудобное обстоятельство: у нас нет скалярного произведения векторов. (Не говоря уже о векторном :-) Пока мы его не ввели, мы не можем перемножать два "контравектора" (говорят просто - вектора). Но если мы введём двойственное (= сопряжённое) пространство, то мы можем перемножать вектор и ковектор. Но зато, мы не можем превращать вектор в ковектор! Это будет поистине отдельное пространство, "параллельный мир".

И только поднявшись на уровень метрической геометрии, мы получаем метрику, скалярное произведение, и отождествление прямого и сопряжённого пространств. Но в математике этот шаг откладывают до последнего. И не зря: иногда пригождается геометрия, разработанная, казалось бы, "про запас", без скалярного произведения.

Например, есть пространство $(P,V)$ термодинамических параметров газа. Там всё есть: и расстояния по одной координате, и расстояния по другой координате, и даже площадь (работа). Но вот скалярного произведения там нет! И углов нет, и поворачивать векторы, отложенные вдоль одной оси, в направлении другой оси, нельзя. У них даже размерности разные, не говоря о единицах измерения.

[arseniiv]

(Получился небольшой перекрёст с предыдущим сообщением, пока набирал.)

tibon в сообщении #1057737 писал(а):

То есть, с изменением координат меняется тензор $g_{ij}$, но таким образом, что беря старые вектора в новых координатах, их скалярное произведение (определённое через свёртку с метрическим тензором), не изменится?

Тензор не изменится, но его координаты — да. Так же как с векторами (которые ведь тоже тензоры). Есть, правда, тензоры, даже координаты которых при преобразовании координат тоже не меняются — например, скаляры. Или скалярные линейные операторы $a\delta^i_j$, умножающие вектор на число $a$.

tibon в сообщении #1057737 писал(а):

То есть, в силу того, что косинус угла у нас выражается по теореме косинусов через длины - он у нас не будет изменяться при преобразованиях координат?

Именно так. Как всё было до тензорных обозначений: $\cos\alpha_{\mathbf u,\mathbf v} = \dfrac{(\mathbf u,\mathbf v)}{\lvert\mathbf u\rvert\lvert\mathbf v\rvert}$ — так и осталось: $\dfrac{u_iv^i}{\sqrt{u_ju^j}\sqrt{v_kv^k}}$.

tibon в сообщении #1057737 писал(а):

Что значит "подождать"? Рассмотреть функцию от одного аргумента? А как скалярное произведение можно рассматривать от одного аргумента?

Возьмём скалярное произведение $(\mathbf a,\mathbf v)$ вектора $\mathbf v$ с фиксированным вектором $\mathbf a$ — это как раз функция $\mathbf v$. (Это одна функция. Теперь если взять другое $\mathbf a$, получится вторая, и т. д..)

tibon в сообщении #1057737 писал(а):

Что, если его не вводить, а просто "скалярно перемножать" два контравектора? Получим структуру, которая не будет инвариантной?

Если не вводить двойственное пространство, у нас не будет штук с одним нижним индексом. Но это поначалу, т. к. из-за скалярного произведения (и появления опускания индекса) они всё равно появятся! (Как раз как я описывал выше.)

Потом, что значит «вводить» — оно уже и так есть с того момента, как мы рассматриваем векторное. И даже нужный для выражения компонент тензоров базис в нём есть автоматически после того, как есть у векторов (тоже описано как ). Т. е. оно у нас присутствует в самом конкретном виде: любую штуку можно описать обычными числами, и любое выражение посчитать. Наверно, выше я просто недостаточно понятно написал, или недостаточно примеров.

Для некоторой наглядной интуиции насчёт 1-форм посмотрите W. L. Burke Div, grad, curl are dead, если читаете по-английски (в большей степени главу 2). И ещё тут где-то Munin набирал подобные штуки в каком-то сообщении, сейчас поищу.

-- Ср сен 30, 2015 04:56:21 --

Тот пост: http://dxdy.ru/post621908.html#p621908. Кажется, было и ещё где-то, хотя могло быть то же самое.

-- Ср сен 30, 2015 04:58:48 --

Плюс пояснения к картинкам: http://dxdy.ru/post622136.html#p622136.

-- Ср сен 30, 2015 05:07:32 --

И ещё нашлась вместо искомой тоже полезная тема трёхлетней давности «Геометрический смысл билинейной формы и др.»

[Geen]

tibon в сообщении #1057737 писал(а):

Что, если его не вводить, а просто "скалярно перемножать" два контравектора? Получим структуру, которая не будет инвариантной?

tibon в сообщении #1057737 писал(а):

То есть, с изменением координат меняется тензор $g_{ij}$, но таким образом, что беря старые вектора в новых координатах, их скалярное произведение (определённое через свёртку с метрическим тензором), не изменится?

Кажется, Вы уже сами знаете ответ (на вопрос первой цитаты).

[tibon]

Munin в сообщении #1057751 писал(а):

Одно уточнение: меняются компоненты (координаты) тензора. Про сам тензор говорят, что он не меняется, потому что сам тензор - это тоже некая "внекоординатная" геометрическая сущность.

arseniiv в сообщении #1057776 писал(а):

Тензор не изменится, но его координаты — да. Так же как с векторами (которые ведь тоже тензоры). Есть, правда, тензоры, даже координаты которых при преобразовании координат тоже не меняются — например, скаляры. Или скалярные линейные операторы $a\delta^i_j$, умножающие вектор на число $a$.

Да, я просто неправильно выразился. Спасибо.

arseniiv в сообщении #1057776 писал(а):

Возьмём скалярное произведение $(\mathbf a,\mathbf v)$ вектора $\mathbf v$ с фиксированным вектором $\mathbf a$ — это как раз функция $\mathbf v$. (Это одна функция. Теперь если взять другое $\mathbf a$, получится вторая, и т. д..)

Munin в сообщении #1057751 писал(а):

Если в функции двух аргументов зафиксировать один аргумент, то можно это сочетание "функция + конкретное значение аргумента" рассматривать как функцию второго аргумента.

И тут понял, да.

Munin в сообщении #1057751 писал(а):

Дело вот в чём. Как я уже сказал, бывают разные уровни геометрии. И на некотором уровне у нас ещё нет метрики. И с этим сопряжено ещё одно неудобное обстоятельство: у нас нет скалярного произведения векторов. (Не говоря уже о векторном Пока мы его не ввели, мы не можем перемножать два "контравектора" (говорят просто - вектора). Но если мы введём двойственное (= сопряжённое) пространство, то мы можем перемножать вектор и ковектор. Но зато, мы не можем превращать вектор в ковектор! Это будет поистине отдельное пространство, "параллельный мир".

И только поднявшись на уровень метрической геометрии, мы получаем метрику, скалярное произведение, и отождествление прямого и сопряжённого пространств. Но в математике этот шаг откладывают до последнего. И не зря: иногда пригождается геометрия, разработанная, казалось бы, "про запас", без скалярного произведения.

Например, есть пространство $(P,V)$ термодинамических параметров газа. Там всё есть: и расстояния по одной координате, и расстояния по другой координате, и даже площадь (работа). Но вот скалярного произведения там нет! И углов нет, и поворачивать векторы, отложенные вдоль одной оси, в направлении другой оси, нельзя. У них даже размерности разные, не говоря о единицах измерения.

Понятно, спасибо. А вектор в ковектор не можем превращать до того момента, пока не ввели метрический тензор, верно?

arseniiv в сообщении #1057447 писал(а):

И вот у нас вдруг явилось скалярное произведение.

А можно вот здесь еще раз поподробнее?
Оно появилось отсюда:

arseniiv в сообщении #1057447 писал(а):

Начиная с базиса $(\mathbf e_1,\ldots,\mathbf e_n)$ в пространстве векторов, мы можем наделать базисов в пространствах разных $(m,n)$-тензоров, начав с сопряжённого базиса $(\mathbf e^1,\ldots,\mathbf e^n)$ пространства ковекторов такого, что $(\mathbf e^i,\mathbf e_j) = \delta^i_j$ для всех $i, j$; тут скобки показывают просто значение 1-формы $\mathbf e^i$ на аргументе $\mathbf e_j$.

Или я как-то не так понимаю?

arseniiv в сообщении #1057776 писал(а):

Для некоторой наглядной интуиции насчёт 1-форм посмотрите W. L. Burke Div, grad, curl are dead, если читаете по-английски (в большей степени главу 2). И ещё тут где-то Munin набирал подобные штуки в каком-то сообщении, сейчас поищу.

Тот пост: post621908.html#p621908
. Кажется, было и ещё где-то, хотя могло быть то же самое.

Плюс пояснения к картинкам: post622136.html#p622136

И ещё нашлась вместо искомой тоже полезная тема трёхлетней давности «Геометрический смысл билинейной формы и др.»

Спасибо, обязательно ознакомлюсь с этими вещами, если будет непонятно - спрошу здесь или там.

Geen в сообщении #1057816 писал(а):

Кажется, Вы уже сами знаете ответ (на вопрос первой цитаты).

Ну да, для перемножения двух векторов необходим метрический тензор. Ковектор с вектором свёртываются без метрического тензора. Как выше успел заметить munin.

[Munin]

tibon в сообщении #1057922 писал(а):

А вектор в ковектор не можем превращать до того момента, пока не ввели метрический тензор, верно?

Да, именно. Все эти плюшки идут одновременно, одной связкой.

[VanD]

tibon в сообщении #1057922 писал(а):

А вектор в ковектор не можем превращать до того момента, пока не ввели метрический тензор, верно?

Не обязательно превращать именно метрическим тензором. Можно даже вырожденным тензором типа (0, 2) превращать, только тогда это будет гомоморфизм касательного и кокасательного пространств, который не изоморфизм (обратно не всегда удастся превратить), так что опусканием такое вроде не называют. А так да, если бы дополнительной структуры не требовалось, то двойственность сохранялась бы любыми диффеоморфизмами и тогда из локальной эквивалентности любых двух невырожденных касательных векторных полей следовала бы локальная эквивалентность и любых двух ковекторных, что не правда ибо у них уже есть локальные инварианты (вполне интегрируемость ядра, например).

[arseniiv]

tibon в сообщении #1057922 писал(а):

А можно вот здесь еще раз поподробнее?
Оно появилось отсюда:

arseniiv чего-то писал(а):

<…>

Или я как-то не так понимаю?

Не-не, там $(f,\mathbf v)$ — это просто применение формы $f$ к вектору $\mathbf v$, в компонентах это $f_iv^i$. Как вы уже сами писали, для этого метрический тензор не нужен. Просто иногда удобно обозначить как скалярные произведения $V\times V\to\mathbb R$, $V^*\times V^*\to\mathbb R$, так и канонические спаривания $V^*\times V\to\mathbb R$, $V\times V^*\to\mathbb R$ (вот это вот применение $f(\mathbf v)$, и оно же с обратным порядком аргументов) одинаковым способом. И иногда это запутывает, получается…

[tibon]

VanD в сообщении #1057935 писал(а):

Не обязательно превращать именно метрическим тензором. Можно даже вырожденным тензором типа (0, 2) превращать, только тогда это будет гомоморфизм касательного и кокасательного пространств, который не изоморфизм (обратно не всегда удастся превратить), так что опусканием такое вроде не называют. А так да, если бы дополнительной структуры не требовалось, то двойственность сохранялась бы любыми диффеоморфизмами и тогда из локальной эквивалентности любых двух невырожденных касательных векторных полей следовала бы локальная эквивалентность и любых двух ковекторных, что не правда ибо у них уже есть локальные инварианты (вполне интегрируемость ядра, например).

Очень жаль, но моих знаний на текущий момент недостаточно, чтобы адекватно воспринять ваше сообщение, извините. :/

arseniiv в сообщении #1057940 писал(а):

Не-не, там $(f,\mathbf v)$ — это просто применение формы $f$ к вектору $\mathbf v$, в компонентах это $f_iv^i$. Как вы уже сами писали, для этого метрический тензор не нужен. Просто иногда удобно обозначить как скалярные произведения $V\times V\to\mathbb R$, $V^*\times V^*\to\mathbb R$, так и канонические спаривания $V^*\times V\to\mathbb R$, $V\times V^*\to\mathbb R$ (вот это вот применение $f(\mathbf v)$, и оно же с обратным порядком аргументов) одинаковым способом. И иногда это запутывает, получается…

Но когда обозначается как $V\times V\to\mathbb R$, $V^*\times V^*\to\mathbb R$ подразумевается учитывание метрики, а пишется для удобства, аналогично тому, как иногда опускаются индексы в тензорных записях для краткости?

Всем большое спасибо за ответы!
Что хотел - прояснил, и для себя увидел, где нужно докладывать фундамент. :)

[Munin]

tibon в сообщении #1057966 писал(а):

Очень жаль, но моих знаний на текущий момент недостаточно, чтобы адекватно воспринять ваше сообщение, извините. :/

Касательное пространство - это полезная штука, она обязательно будет у вас в будущем. Это мощный инструмент и почва для новых сложных конструкций.

Идея вот в чём. Можно всё время проговаривать, что искривлённое пространство - является плоским и линейным "в бесконечно малой окрестности точки". А можно посмотреть на это иначе. У искривлённой поверхности есть касательная плоскость в точке. И она является хорошим линейным пространством, в котором можно откладывать векторы, направления, совершать замены координат, и так далее. Конечно, вектор, отложенный в касательной плоскости, не лежит в искривлённой поверхности, и спроецировать его нельзя (однозначно). Но если взять бесконечно-малый вектор, то связь поверхности и касательной плоскости восстанавливается. Таким образом, через эту связь, как через дверку, мы попадаем в новый самостоятельный мир (на касательной плоскости), в котором можем жить и не возвращаться обратно. Это удобнее, чем думать постоянно про "бесконечно-малость". Ну а дальше, можно провести такую касательную плоскость в каждой точке поверхности, соединить их между собой по принципу "плоскость катится по поверхности", и получится конструкция, которая называется касательным расслоением... Всё, тут лучше остановиться. Это всё-таки уже не фундамент.

tibon в сообщении #1057966 писал(а):

Но когда обозначается как $V\times V\to\mathbb R$, $V^*\times V^*\to\mathbb R$ подразумевается учитывание метрики, а пишется для удобства, аналогично тому, как иногда опускаются индексы в тензорных записях для краткости?

Когда вы пишете такое произведение в индексной записи, то метрику "подразумевать" нельзя. Надо писать явно.

Исключение: в плоском пространстве и ортонормированном базисе, если это оговорено. Тогда можно спустя рукава относиться к некоторым правилам, например, писать все индексы снизу (или сверху), и спаривать их без правила "верх-низ". Это частенько бывает в тех областях физики, которые далеки от ОТО.