Сумма гиперкубов

[Ktina]

Для некоторых пяти натуральных чисел $n_1, n_2, n_3, n_4, n_5$ выполняется

$$n_1^4+_n_2^4+n_3^4+n_4^4=n_5^4$$

Какое наименьшее количество из этих пяти чисел могут оканчиваться нулём?

[yk2ru]

Все пять. Можно ведь домножить каждое число на десять.

[Ktina]

yk2ru
В условии сказано про наименьшее.

[Ktina]

Второе число в сумме по ошибке было обозначено буквой, меньшей остальных. Следует читать:

$$n_1^4+n_2^4+n_3^4+n_4^4=n_5^4$$

[maxal]

Ответ ноль? Например, что мешает существованию следующего решения?

$$(10m_1 + 5)^4 + (10m_2 + 5)^4 + (10m_3 + 5)^4 + (10m_4 + 2)^4 = (10m_5 + 1)^4$$

Или вам нужно предъявить конкретное решение, где такое реализуется?

[Ktina]

maxal
Не торопитесь, там ответ уж точно не нуль.

-- 30.09.2015, 17:47 --

В Вашем примере в левой части по модулю 8 будет остаток 3, а в правой 1, а это невозможно.

[maxal]

OK, удовлетворить решения по модулю 40 можно только как минимум с двумя нулями, но опять же существование нужно доказывать отдельно.

[Ktina]

maxal
С одним нулём тоже не выйдет

[maxal]

Уже исправился. Но как вы предполагаете доказывать существование?
Искать самим или копаться в базах решений в интернете?

[Ktina]

maxal
30, 120, 272, 315.

[covax]

А числа должны быть обязательно разными, да?

[Ktina]

covax
А как иначе?

$$4k^4=m^4?$$

Так там решений нет в натуральных числах. А нуль - не натуральное. И даже если бы было натуральным, это не помогло бы нам, мы получили бы пять чисел, оканчивающихся нулём.

[covax]

Ktina
Да, я что-то слово натуральные проглядел, хотел ловко все нули предложить :)

В википедии нашлось (вторая страница), у них тоже везде минимум 2 нуля.

[Ktina]

covax

(Оффтоп)

У меня с мобильника PDF-ы не оркрываются.

[covax]

(Оффтоп)

Скрал оттуда таблицу.
Примитивные решения для $n_5 \leqslant 8002$

\begin{table}[] \begin{tabular}{|l|l|l|l|l|} \centered \hline n_5 & n_1 & n_2 & n_3 & n_4 \\ \hline 353 & 30 & 120 & 272 & 315 \\ \hline 651 & 240 & 340 & 430 & 599 \\ \hline 2487 & 435 & 710 & 1384 & 2420 \\ \hline 2501 & 1130 & 1190 & 1432 & 2365 \\ \hline 2829 & 850 & 1010 & 1546 & 2745 \\ \hline 3723 & 2270 & 2345 & 2460 & 3152 \\ \hline 3973 & 350 & 1652 & 3230 & 3395 \\ \hline 4267 & 205 & 1060 & 2650 & 4094 \\ \hline 4333 & 1394 & 1750 & 3545 & 3670 \\ \hline 4449 & 699 & 700 & 2840 & 4250 \\ \hline 4949 & 380 & 1660 & 1880 & 4907 \\ \hline 5281 & 1000 & 1120 & 3233 & 5080 \\ \hline 5463 & 410 & 1412 & 3910 & 5055 \\ \hline 5491 & 955 & 1770 & 2634 & 5400 \\ \hline 5543 & 30 & 1680 & 3043 & 5400 \\ \hline 5729 & 1354 & 1810 & 4355 & 5150 \\ \hline 6167 & 542 & 2770 & 4280 & 5695 \\ \hline 6609 & 50 & 885 & 5000 & 5984 \\ \hline 6801 & 1490 & 3468 & 4790 & 6185 \\ \hline 7101 & 1390 & 2850 & 5365 & 6368 \\ \hline 7209 & 160 & 1345 & 2790 & 7166 \\ \hline 7339 & 800 & 3052 & 5440 & 6635 \\ \hline 7703 & 2230 & 3196 & 5620 & 6995 \\ \hline \end{tabular} \end{table}