2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Сумма гиперкубов
Сообщение30.09.2015, 14:07 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
Для некоторых пяти натуральных чисел $n_1, n_2, n_3, n_4, n_5$ выполняется $$n_1^4+_n_2^4+n_3^4+n_4^4=n_5^4$$
Какое наименьшее количество из этих пяти чисел могут оканчиваться нулём?

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма гиперкубов
Сообщение30.09.2015, 14:29 


03/10/06
826
Все пять. Можно ведь домножить каждое число на десять.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма гиперкубов
Сообщение30.09.2015, 14:32 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
yk2ru
В условии сказано про наименьшее.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма гиперкубов
Сообщение30.09.2015, 17:21 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
Второе число в сумме по ошибке было обозначено буквой, меньшей остальных. Следует читать:$$n_1^4+n_2^4+n_3^4+n_4^4=n_5^4$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма гиперкубов
Сообщение30.09.2015, 17:37 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5710
Ответ ноль? Например, что мешает существованию следующего решения?
$$(10m_1 + 5)^4 + (10m_2 + 5)^4 + (10m_3 + 5)^4 + (10m_4 + 2)^4 = (10m_5 + 1)^4$$
Или вам нужно предъявить конкретное решение, где такое реализуется?

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма гиперкубов
Сообщение30.09.2015, 17:46 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
maxal
Не торопитесь, там ответ уж точно не нуль.

-- 30.09.2015, 17:47 --

В Вашем примере в левой части по модулю 8 будет остаток 3, а в правой 1, а это невозможно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма гиперкубов
Сообщение30.09.2015, 18:00 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5710
OK, удовлетворить решения по модулю 40 можно только как минимум с двумя нулями, но опять же существование нужно доказывать отдельно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма гиперкубов
Сообщение30.09.2015, 18:02 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
maxal
С одним нулём тоже не выйдет :cry:

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма гиперкубов
Сообщение30.09.2015, 18:05 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5710
Уже исправился. Но как вы предполагаете доказывать существование?
Искать самим или копаться в базах решений в интернете?

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма гиперкубов
Сообщение30.09.2015, 18:28 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
maxal
30, 120, 272, 315.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма гиперкубов
Сообщение30.09.2015, 22:44 
Аватара пользователя


25/03/09
94
А числа должны быть обязательно разными, да?

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма гиперкубов
Сообщение30.09.2015, 22:53 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
covax
А как иначе? $$4k^4=m^4?$$
Так там решений нет в натуральных числах. А нуль - не натуральное. И даже если бы было натуральным, это не помогло бы нам, мы получили бы пять чисел, оканчивающихся нулём.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма гиперкубов
Сообщение01.10.2015, 00:08 
Аватара пользователя


25/03/09
94
Ktina
Да, я что-то слово натуральные проглядел, хотел ловко все нули предложить :)

В википедии нашлось (вторая страница), у них тоже везде минимум 2 нуля.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма гиперкубов
Сообщение01.10.2015, 22:05 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
covax

(Оффтоп)

У меня с мобильника PDF-ы не оркрываются.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма гиперкубов
Сообщение02.10.2015, 10:38 
Аватара пользователя


25/03/09
94

(Оффтоп)

Скрал оттуда таблицу.
Примитивные решения для $n_5 \leqslant 8002$

\begin{table}[]
\begin{tabular}{|l|l|l|l|l|}
\centered
\hline
n_5 & n_1 & n_2 & n_3 & n_4 \\ \hline
353 & 30 & 120 & 272 & 315 \\ \hline
651 & 240 & 340 & 430 & 599 \\ \hline
2487 & 435 & 710 & 1384 & 2420 \\ \hline
2501 & 1130 & 1190 & 1432 & 2365 \\ \hline
2829 & 850 & 1010 & 1546 & 2745 \\ \hline
3723 & 2270 & 2345 & 2460 & 3152 \\ \hline
3973 & 350 & 1652 & 3230 & 3395 \\ \hline
4267 & 205 & 1060 & 2650 & 4094 \\ \hline
4333 & 1394 & 1750 & 3545 & 3670 \\ \hline
4449 & 699 & 700 & 2840 & 4250 \\ \hline
4949 & 380 & 1660 & 1880 & 4907 \\ \hline
5281 & 1000 & 1120 & 3233 & 5080 \\ \hline
5463 & 410 & 1412 & 3910 & 5055 \\ \hline
5491 & 955 & 1770 & 2634 & 5400 \\ \hline
5543 & 30 & 1680 & 3043 & 5400 \\ \hline
5729 & 1354 & 1810 & 4355 & 5150 \\ \hline
6167 & 542 & 2770 & 4280 & 5695 \\ \hline
6609 & 50 & 885 & 5000 & 5984 \\ \hline
6801 & 1490 & 3468 & 4790 & 6185 \\ \hline
7101 & 1390 & 2850 & 5365 & 6368 \\ \hline
7209 & 160 & 1345 & 2790 & 7166 \\ \hline
7339 & 800 & 3052 & 5440 & 6635 \\ \hline
7703 & 2230 & 3196 & 5620 & 6995 \\ \hline
\end{tabular}
\end{table}

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 16 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group