Эллипс

[karandash_oleg]

1) Докажите, что отношение расстояния от точки эллипса $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{5}=1$ до точки $P(2, 0)$ к расстоянию от нее до прямой $x = 4,5$
не зависит от положения этой точки.

Я так понимаю, что нужно доказать, что $\dfrac{\sqrt{(x-2)^2+5-\frac{5x^2}{9}}}{|x-4,5|}=\operatorname{const}$?

Или не так? С чего нужно начать?

Я уже понял, что используя свойство $\dfrac{(\sqrt{a})^2}{|a|}=1$ тут получится $\dfrac{2}{3}$.

То есть разобрался с этой задачей

2) Докажите, что расстояние от точек эллипса $\frac{x^2}{5}+\frac{y^2}{3}=1$ до начала координат меняется от $\sqrt{3}$ до $\sqrt{5}$.

Тут совсем не очевидно с чего начать, хотя визуально очевидно все... (окружность радиуса $\sqrt{5}$ "описана вокруг эллипса, вторая "вписана", это я грубо очень, конечно).

Если эллипс растянуть в окружноcть радиуса $\sqrt{5}$, то все расстояния могут только увеличится

Если эллипс стянуть в окружность радиуса $\sqrt{3}$, то все расстояния могут только уменьшится.

Можно ли это считать док-вом?

Квадрат расстояния от точки эллипса до начала координат равен $x^2+y^2$. Нам нужно доказать, что $3\le x^2+y^2\le 5$

Тогда домножим обе части уравнения $\frac{x^2}{5}+\frac{y^2}{3}=1$ на $5$, имеем:

$x^2+y^2\le x^2+\frac{5y^2}{3}=5$

Тогда домножим обе части уравнения $\frac{x^2}{5}+\frac{y^2}{3}=1$ на $3$, имеем:

$3\le y^2+\frac{3x^2}{5}\le x^2+y^2$

Можно ли это считать доказательством?

[provincialka]

karandash_oleg
А вы уже проверили это равенство? Будьте посамостоятельнее все-таки!

[karandash_oleg]

provincialka в сообщении #1057765 писал(а):

karandash_oleg
А вы уже проверили это равенство? Будьте посамостоятельнее все-таки!

Ох, точно, я не думал, что это может потенциально сократиться, думал, что точно неверно. Спасибо. Отношение будет $\frac{2}{3}$

[ewert]

karandash_oleg в сообщении #1057762 писал(а):

Но как это практически реализовать в док-ве?

Линейным преобразованием растяните эллипс в окружность. Что произойдёт со всеми расстояниями?

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- отсутствуют собственные содержательные попытки решения задач(и).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Deggial]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Возвращено

[karandash_oleg]

Видимо все верно