2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Эллипс
Сообщение30.09.2015, 01:49 
1) Докажите, что отношение расстояния от точки эллипса $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{5}=1$ до точки $P(2, 0)$ к расстоянию от нее до прямой $x = 4,5$
не зависит от положения этой точки.

Я так понимаю, что нужно доказать, что $\dfrac{\sqrt{(x-2)^2+5-\frac{5x^2}{9}}}{|x-4,5|}=\operatorname{const}$?

Или не так? С чего нужно начать?

Я уже понял, что используя свойство $\dfrac{(\sqrt{a})^2}{|a|}=1$ тут получится $\dfrac{2}{3}$.

То есть разобрался с этой задачей

2) Докажите, что расстояние от точек эллипса $\frac{x^2}{5}+\frac{y^2}{3}=1$ до начала координат меняется от $\sqrt{3}$ до $\sqrt{5}$.

Тут совсем не очевидно с чего начать, хотя визуально очевидно все... (окружность радиуса $\sqrt{5}$ "описана вокруг эллипса, вторая "вписана", это я грубо очень, конечно).

Если эллипс растянуть в окружноcть радиуса $\sqrt{5}$, то все расстояния могут только увеличится

Если эллипс стянуть в окружность радиуса $\sqrt{3}$, то все расстояния могут только уменьшится.

Можно ли это считать док-вом?

Квадрат расстояния от точки эллипса до начала координат равен $x^2+y^2$. Нам нужно доказать, что $3\le x^2+y^2\le 5$

Тогда домножим обе части уравнения $\frac{x^2}{5}+\frac{y^2}{3}=1$ на $5$, имеем:

$x^2+y^2\le x^2+\frac{5y^2}{3}=5$

Тогда домножим обе части уравнения $\frac{x^2}{5}+\frac{y^2}{3}=1$ на $3$, имеем:

$3\le y^2+\frac{3x^2}{5}\le x^2+y^2$

Можно ли это считать доказательством?

 
 
 
 Re: Эллипс
Сообщение30.09.2015, 01:55 
Аватара пользователя
karandash_oleg
А вы уже проверили это равенство? Будьте посамостоятельнее все-таки!

 
 
 
 Re: Эллипс
Сообщение30.09.2015, 02:06 
provincialka в сообщении #1057765 писал(а):
karandash_oleg
А вы уже проверили это равенство? Будьте посамостоятельнее все-таки!

Ох, точно, я не думал, что это может потенциально сократиться, думал, что точно неверно. Спасибо. Отношение будет $\frac{2}{3}$

 
 
 
 Re: Эллипс
Сообщение30.09.2015, 08:33 
karandash_oleg в сообщении #1057762 писал(а):
Но как это практически реализовать в док-ве?

Линейным преобразованием растяните эллипс в окружность. Что произойдёт со всеми расстояниями?

 
 
 
 Posted automatically
Сообщение30.09.2015, 09:31 
 i  Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- отсутствуют собственные содержательные попытки решения задач(и).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

 
 
 
 Posted automatically
Сообщение30.09.2015, 12:29 
Аватара пользователя
 i  Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Возвращено

 
 
 
 Re: Эллипс
Сообщение01.10.2015, 03:57 
Видимо все верно

 
 
 [ Сообщений: 7 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group