Расстояние между центрами окружностей

[KPEHgEJIb]

Найти расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей для равнобедренного треугольника с основанием, равным $a$ и боковой стороной $b$.

Задачу решил, но ответ некрасивый получается.
$AP=BP=R$
$OP=BD-(r+R)$

Надо выразить $BD$, $r$ и $R$.
Выражаю $BD$:
$AD=0,5a$
$BD=\sqrt{b^2-(0,5a)^2}$

Выражаю $R$:
$SABC=2SABD=2\frac{\sqrt{b^2-(0,5a)^2}0,5a}{2}=0,5a\sqrt{b^2-(0,5a)^2}$
$SABC=\frac{ab^2}{4R}=0,5a\sqrt{b^2-(0,5a)^2}$
$R=\frac{b^2}{2\sqrt{b^2-(0,5a)^2}}$

Выражаю $r$:
$SABC=pr$ $p=\frac{2b+a}{2}$
$SABC=\frac{r(2b+a)}{2}=0,5a\sqrt{b^2-(0,5a)^2}$
$r=\frac{a\sqrt{b^2-(0,5a)^2}}{2b+a}$

Подствил и получил:
$OP=\frac{2a(\sqrt{b^2-(0,5a)^2})+2b^3+b^2a}{(2b+a)(2\sqrt{b^2-(0,5a)^2}}$

В книге красивее

[RIP]

KPEHgEJIb писал(а):

$OP=BD-(r+R)$

Во-первых, $OP=|BD-(r+R)|$.

KPEHgEJIb писал(а):

Подствил и получил:
$OP=\frac{2a(\sqrt{b^2-(0,5a)^2})+2b^3+b^2a}{(2b+a)(2\sqrt{b^2-(0,5a)^2}}$

Плохо подставили. У меня при подстановке получилось $\frac{b(b-a)}{\sqrt{4b^2-a^2}}$.

[KPEHgEJIb]

RIP писал(а):

Во-первых, $OP=|BD-(r+R)|$.

Точно! Треугольник ведь может быть и другим.

Попытался ещё раз перерешать:
$\sqrt{b^2-(0,5a)^2}-\frac{a\sqrt{b^2-(0,5a)^2}}{2b+a}-\frac{b^2}{2\sqrt{b^2-(0,5a)^2}}$

1. $\sqrt{b^2-(0,5a)^2}-\frac{a\sqrt{b^2-(0,5a)^2}}{2b+a}=\frac{2b\sqrt{b^2-(0,5a)^2}}{2b+a}$

2. $\frac{2b\sqrt{b^2-(0,5a)^2}}{2b+a}-\frac{b^2}{2\sqrt{b^2-(0,5a)^2}}=\frac{2b^3-ab^2-a^2b}{(2b+a)(2\sqrt{b^2-(0,5a)^2)}}$

[BVR]

KPEHgEJIb
Ваша последняя формула упрощается и получается как у RIP

[KPEHgEJIb]

BVR, вроде получилось Вопросов больше нет.

[Yu_K]

http://mathworld.wolfram.com/PonceletsPorism.html формула (37) справедлива для любых треугольников вписанных в эту большую окружность и одновременно описанных около этой малой окружности. Есть какое-нибудь простое док-во этого факта?