"Сильные" и "слабые" собственные состояния.

[santafede]

Заранее извиняюсь за скомканную формулировку.

Как известно, одним из следствий недиагональности массовой матрицы нейтрино является то, что состояние нейтрино, имеющее определенную массу $|m_i>,$ $i=1,2,3,$ представляет собой линейную суперпозицию состояний, имеющих определенный тип - $\nu_e,$ $\nu_\mu,$ $\nu_\tau$. И наоборот.
Состояния нейтрино, имеющие определенный тип, с точки зрения теории электрослабых взаимодействий, это состояния, образующие один из 3-х SU(2)-дублетов:

$$\left(\begin{array}\ l \\ \nu_l \end{array}\right),$$

где $l=e,\mu,\tau.$
Кварки, в отличие от лептонов, участвуют еще и в сильном взаимодействии, которое соответствует калибровочной группе SU(3).
Вопрос следующий: можно ли утверждать, что состояния кварков, образующие неприводимые представления группы SU(3) (как я полагаю - это состояния с определенным значением квантового числа "цвет"), образуют также и неприводимые представления группы SU(2) (т.е. имеют определенный тип в смысле слабого взаимодействия)?

[Munin]

Группы цвета и слабого изоспина для кварков "перпендикулярны". В том смысле, что можно брать как чистые состояния, так и суперпозиции в любой комбинации по одной группе, и независимо, по другой группе.

[santafede]

Т.е., как я понял, независимо от того, имеет ли данный кварк определенный тип ($d,s,b$), или является суперпозицией состояний разного типа, этому кварку всегда можно однозначно приписать определенное значение цвета?

[Munin]

Ну да. Можно взять суперпозицию, скажем, $u_r$ и $d_r$ кварков, и получится кварк неопределённого аромата, зато совершенно точно красного цвета :-)

Это если с точки зрения чистой квантовой механики. Тут есть ещё один аспект. Вот, в квантовой механике можно построить суперпозицию протона и нейтрона. Но где вы такую частицу видали? Всегда вы видите или протон, или нейтрон. Почему? Квантовая теория полного ответа не даёт. В принципе, такое могло бы быть. Но "на пальцах", это связано с тем, что у протона и нейтрона разная масса - и в результате за счёт $\Delta m\,c^2/\hbar$ очень быстро накапливается разность фазы, и разрушается интерференция. Кроме разницы масс, протон излучает фотоны, а нейтрон - нет, что тоже разрушает суперпозицию. (А разность масс учёные напрямую приписывают разному заряду.) В конечном счёте, мы просто наблюдаем протон в одном месте, и нейтрон - в другом, и своим наблюдением (по сути, электромагнитным) разрушаем суперпозицию. В теории, такие "запрещённые" состояния называются суперотбором и секторами суперотбора. Но ещё раз подчеркну, что это только "на пальцах", а серьёзного теоретического доказательства этого эффекта КМ не даёт.

Дальше интересней. Конечно, когда мы смотрим на нуклон, то он всегда или протон, или нейтрон. Например, мы не перепутаем ядра-изобары. Но вот происходит какая-то ядерная реакция. И что? Оказывается, что она происходит по законам изотопической инвариантности, которая возникает за счёт безразличия между протоном, нейтроном, и всеми состояниями суперпозиции протона и нейтрона, типа $a|p\rangle+b|n\rangle.$ Это значит, что пока происходит ядерная реакция, вот это вот правило суперотбора, что суперпозиций протона и нейтрона "не бывает", оно не действует. Почему? Потому что время протекания ядерной реакции очень мало, меньше, чем то время, за которое успел бы подействовать этот суперотбор. Время его действия можно оценить по той самой величине $\Delta m.$ Для лёгких кварков она порядка 1 ГэВ, а для $t$-кварка достигает сотни ГэВ. Для разницы между цветовыми состояниями разных кварков - надо брать разницу их энергий в конкретном состоянии (или в конкретной точке пространства) в конкретном адроне, то есть энергию глюона, который они излучают или поглощают, превращаясь друг в друга. Это величина порядка тех же 0,1-1 ГэВ.

[santafede]

Благодарю за подробный ответ.

Если я правильно понял, суперпозиции состояний разного цвета возможны, но маловероятны в силу правил суперотбора, подобно тому как в вашем примере суперпозиция состояний протона и нейтрона фактически не наблюдается, хотя и возможна в принципе.

Тогда, следуя вашим рассуждениям, можно ли предположить, что во время тех или иных достаточно "быстрых" реакций суперотбор может нарушаться и кварк, участвующий в реакции может находится в суперпозиции цветовых состояний?

[Munin]

santafede в сообщении #1056262 писал(а):

Если я правильно понял, суперпозиции состояний разного цвета возможны, но маловероятны в силу правил суперотбора

Смотря на каких масштабах времени. Если забираться сильно вглубь - возможны вполне.

santafede в сообщении #1056262 писал(а):

Тогда, следуя вашим рассуждениям, можно ли предположить, что во время тех или иных достаточно "быстрых" реакций суперотбор может нарушаться и кварк, участвующий в реакции может находится в суперпозиции цветовых состояний?

Да, именно. Слабое взаимодействие протекает на масштабе времени порядка 100 ГэВ. Это в 100 раз быстрее, чем время, за которое действует цветное взаимодействие.

[santafede]

Спасибо. А не могли бы вы посоветовать какую-нибудь литературу на тему правил суперотбора и всего такого? Желательно что-нибудь более-менее простое :)

[Munin]

Я сам об этом вычитал только "на полях" и "между строк" других учебников.

Может быть, придут старшие товарищи, порекомендуют.

[Brakonier]

Тут есть ещё одна тонкость.
Состояния протона и нейтрона имеют разный электрический заряд. Из-за этого они по-разному преобразуются при калибровочных преобразованиях $U(1)$ (естественно, волновая функция нейтрона не преобразуется вовсе, а протон получает дополнительную фазу). Причём это должно выполняться в том числе и для глобальных калибровочных преобразований, когда дополнительная фаза постоянна. Это приводит к тому, что если рассмотреть суперпозицию таких состояний, то их относительная фаза может быть изменена произвольным образом.
При этом ни одна наблюдаемая величина от калибровочного преобразования измениться не может. Следовательно ни одна наблюдаемая величина не может зависеть от этой относительной фазы. Оператор эволюции с калибровочным преобразованием коммутирует. Поэтому и на эволюцию во времени эта фаза никакого влияния не окажет.
В итоге получается, что никаких наблюдаемых эффектов "интерференции" между такими состояниями быть попросту не может. Всё их поведение будет абсолютно таким же, как если бы фаза между ними была случайная.

[Munin]

Интересно. А почему тогда ядерные взаимодействия вообще чувствуют изоспин? (Те же аргументы можно применить к кваркам, и тогда сказать, что не должно быть наблюдаемых различий между $\tfrac{1}{\sqrt{2}}(u\bar{u}-d\bar{d})$ и $\tfrac{1}{\sqrt{2}}(u\bar{u}+d\bar{d}),$ которые, как известно, дают разные мезоны ($\pi^0,\eta,\eta'$) и разные барионы ($\Sigma^0,\Lambda$).)

[Brakonier]

Так $u\overline{u}$ и $d\overline{d}$ (равно как и $s\overline{s}$) истинно нейтральны. Так что для них эта логика не работает, они тривиально преобразуются. Поэтому для них и возможна такая ситуация, что собственными состояниями массы оказались не сами эти состояния, а их комбинация. Будь у них заряд, из этого бы сразу получилось, что гамильтониан имеет не нулевой матричный элемент между состояниями с разным зарядом, то есть заряд не сохраняется. А так разрешено.
Что касается изоспина, тут я боюсь соврать, но попробую, надеюсь поправят, если что. Обычно, когда его вводят через неотличимость нейтрона и протона (или частиц в других мультиплетах), как это было исторически, предлагают "на время забыть о существовании электромагнитных взаимодействий и правилах суперотбора". В полноценной модели электрослабых взаимодействий аналогичная "неотличимость" выполняется для $u$ и $d$ кварков и там действительно неотличимы без всяких приближений (пока симметрию не нарушили). После нарушения симметрия они (а) получают разную массу и (б) из всей группы $SU(2)\times U(1)$ выделяется подгруппа $U(1)$ (являющаяся хитрой комбинацией исходных $SU(2)$ и $U(1)$), которая по-разному действует на верхний и нижний кварки. Выделена она, естественно, тем, что она, в отличие от всего остального, не нарушена, она-то и станет калибровочной группой электромагнитного взаимодействия. То есть в итоге разница между $u$ и $d$ появляется.
По-видимому, этой разницей можно пренебречь тогда, когда можно пренебречь электромагнитным (и слабым) взаимодействием и массой кварков (по сравнению с огромной массой адронов). Подобное дело, когда "эффективная" теория обладает большими симметриями, вообще не редкость, и пока мы остаёмся в рамках действия эффективной теории эти симметрии стоит воспринимать всерьёз.
PS немного исправил места, где слегка погорячился. Также пришла мысль, что я, возможно, не вполне понял Ваш вопрос, может Вас интересовало, почему вообще состояния $u\overline{u}+d\overline{d}$ и $u\overline{u}-d\overline{d}$ можно отличить, а не почему их (как и протон от нейтрона) иногда нельзя отличить. В таком случае, извините за коряво изложенные банальности.

[Munin]

Brakonier в сообщении #1057605 писал(а):

Так $u\overline{u}$ и $d\overline{d}$ (равно как и $s\overline{s}$) истинно нейтральны.

Издалека да. А если залезть внутрь адрона, то нет.

Brakonier в сообщении #1057605 писал(а):

В полноценной модели электрослабых взаимодействий аналогичная "неотличимость" выполняется для $u$ и $d$ кварков и там действительно неотличимы без всяких приближений (пока симметрию не нарушили). После нарушения симметрия они (а) получают разную массу... То есть в итоге разница между $u$ и $d$ появляется.

То есть, вы указываете, что природа явления не в том, что на каких-то временах какой-то процесс не происходит, а в том, что вклад этого процесса незначителен (симметрия в некотором приближении имеет место). Ну, я считаю, что одно приводит к другому и обратно.

Но вот вопрос. Вначале вы сформулировали "тонкость" так ( post1056968.html#p1056968 ), что частицы с разным зарядом принадлежат разным представлениям $\mathrm{U}(1)_\mathrm{em},$ и поэтому их взаимная фаза может быть вообще какой угодно. Как здесь нарисовать приближённую картину, не ясно: нет малого параметра. И поэтому ваш вывод, что интерференции не будет, "жёстко" не согласуется с картиной "приближённой неотличимости" (приближённой симметрии). Вот с этим я хотел бы разобраться.

[santafede]

Munin в сообщении #1056246 писал(а):

Ну да. Можно взять суперпозицию, скажем, $u_r$ и $d_r$ кварков, и получится кварк неопределённого аромата, зато совершенно точно красного цвета.

До меня дошло - собственно то что вы пишете здесь "$u_r$" уже предполагает, что кварку можно одновременно приписать определенный цвет и определенный аромат, тогда как с массой и ароматом это не возможно (из-за смешивания).
В этом и был вопрос: откуда именно следует, что цвет и аромат - это "коммутирующие" величины?

[Munin]

santafede в сообщении #1057641 писал(а):

До меня дошло - собственно то что вы пишете здесь "$u_r$" уже предполагает, что кварку можно одновременно приписать определенный цвет и определенный аромат

Да.

santafede в сообщении #1057641 писал(а):

В этом и был вопрос: откуда именно следует, что цвет и аромат - это "коммутирующие" величины?

Так сразу и не соображу. Это экспериментально, конечно, откуда выводится, что цветное и электрослабое взаимодействия между собой не смешиваются - в СМ. А то, что они не смешиваются, известно по крайней мере с несколькими знаками после запятой.

Ну, во-первых, свидетельством должна быть бесцветность адронов, вообще запирание цвета. Но адроны сами по себе нестабильны, кроме протонов и нейтронов в ядрах. Впрочем, многие адроны достаточно долгоживущи, в масштабах сильного взаимодействия.

Когда протон "просвечивают" лептонами, особенно нейтрино, то лептоны видят только кварковую компоненту, а не глюонную. Это тоже свидетельство, может и с невысокой точностью, но зато прямое.

Что-то больше ничего в голову не приходит, хотя масса указаний должна быть...

[santafede]

Феноменологически, это более-менее понятно (что сильное и электрослабое вз-ствия не смешиваются). Мне вот интересно, есть ли чисто теоретическое требование чтобы это было так?